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圆圆的认识1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中的CD）。（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。直径等于半径的2倍。A（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的?、?）CDCADC其中大于半圆的弧叫做优弧，如?，小CAD于半圆的弧叫做劣弧。（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。3．与圆相关的角rOAOBD（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。（2）与圆相关的角的性质①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆（或直径）所对的圆周角相等；⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等【例1】下面四个命题中正确的一个是（）A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B．过弦的中点的直线必过圆心C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D．弦的垂线平分弦所对的弧【答案】C与圆有关的位置1．点与圆的位置关系如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么：（1）点在圆外?dr（2）点在圆上?dr（3）点在圆内?dr2．直线和圆的位置关系设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离（1）直线和圆相离?dr，直线与圆没有交点；（2）直线和圆相切?dr，直线与圆有唯一交点；（3）直线和圆相交?dr，直线与圆有两个交点。3．两圆的位置关系设R、r为两圆的半径，d为圆心距（1）两圆外离?dR+r；（2）两圆外切?dR+r；（3）两圆相交?RrdR+r(R?r)；（4）两圆内切?dR-r(Rr)；（5）两圆内含?dR-r(Rr)。（注意：如果为d=0，则两圆为同心圆。）4.切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：∵MNOA且MN过半径OA外端∴MN是⊙O的切线O（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。5.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，连线平分两条切线的夹角。MANB这点和圆心的OPA即：∵PA、PB是的两条切线∴PAPBPO平分BPA【例2】已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P()．A．在⊙O的内部B．在⊙O的外部C．在⊙O上D．在⊙O上或⊙O的内部【答案】D【例3】已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．【答案】略【例4】已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由．【答案】直线PB与⊙O相切．提示：连结OA，证PAO≌ΔPBO点，若⊙1【例5】已知：如图，⊙O1与⊙2外切于A点，直线l与⊙1、⊙2分别切于，的半径r1，⊙2的半径2O．求的长．OOBCOBC=2cmOr=3cm【答案】26cm．提示：分别连结O1，12，2．BOOOC【例6】如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)．(1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式；(2)问点A出发多少秒时两圆相切?【答案】(1)当0≤t≤5.5时，d＝11－2t；当t5.5时，d＝2t－11．(2)①第一次外切，t＝3；②第一次内切，t11;3③第二次内切，t＝11；④第二次外切，t＝13．垂径定理及推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BDCDOAB【例7】在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.【答案】4159【例8】如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=1BF.2AF【答案】提示：连接OF，证明VADO,VFOE,VBOE是全等三角形。E圆周角定理BDOCC1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一即：∵AOB和ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角∴AOB2ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O中，∵C、D都是所对的圆周角∴CD半。BOA推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦C是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径BAO或∵C90∴C90∴AB是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在△ABC中，∵OCOAOB∴△ABC是直角三角形或C90CBAO【例9】已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠ACD=30°，AE=2cm．求DB【答案】43cm.【例10】已知：如图，⊙O的直径AE=10cm，∠B=∠EAC．求AC的长．【答案】提示：连结CE．不难得出AC52cm.与圆有关的计算1．圆周长：c=2pR2．弧长：l=npR；1803．圆面积：S=pR2；4．扇形面积：S扇形＝1lR=npR2；2360【例11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴纸部分BD的长为20cm，则贴纸部分的面积为()．2B．4002．100πcmπcmA32D．8002C．800πcm3πcm【答案】D【例12】已知：如图，以线段AB为直径作半圆O1，以线段AO1为直径作半圆O2，半径O1C交半圆O2于D点．试比较与的长．【答案】的长等于的长．提示：连结O2．D圆幂定理1.相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于点P，∴PAPBPCPD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比C例中项。即：在⊙O中，∵直径ABCD，BAOE∴CE2AEBED2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中A项。即：在⊙O中，∵PA是切线，PB是割线DE∴PA2PCPBPOCB3.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在⊙O中，∵PB、PE是割线∴PCPBPDPE【例13】如图，P是⊙O外一点，PC切⊙O于点C，PAB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半径为10cm，则圆心O到AB的距离是___________【答案】9正多边形与圆1.正三角形在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在RtBOD中进行：OD:BD:OB1:3:2；2.正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，OE:AE:OA1:1:2：3.正六边形同理，六边形的有关计算在RtOAB中进行，AB:OB:OA1:3:2.【例13】已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足1a）2，则这个多边形是（RA.正三边形B.正四边形C.正五边形D.正六边形【答案】C提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有Ra2R因为a6R，a42R，所以a6aa4则a6a5a4，是正五边形，应选C。课后练习题【例1】若P为半径长是6cm的⊙O内一点，OP＝2cm，则过P点的最短的弦长为()．A．12cmB．22cmC．42cmD．82cm【答案】D【例2】若⊙O的半径长是4cm，圆外一点A与⊙O上各点的最远距离是12cm，则自A点所引⊙O的切线长为()．A．16cmB．43cmC．42cmD．46cm【答案】B【例3】⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于()．A．80°B．100°C．120°D．130°【答案】A【例4】三角形的外心是()．A．三条中线的交点B．三个内角的角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点【答案】C【例5】如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，则的长为()．7题图A．2πB．8π33C．πD．2π3【答案】A3【例6】如图，图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿，，，路线爬行，乙虫沿路线爬行，则下列结论正确的是()．8题图A．甲先到B点B．乙先到B点C．甲、乙同时到B点D．无法确定【答案】C【例7】如图，同心圆半径分别为2和1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积为()．B．4π9题图A．πC．2πD．4π【答案】C3【例8】如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC＝60°，则∠B＝______．【答案】30【例9】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．【答案】23cm.【例10】已知：如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB切小圆于C点，AB＝12cm．求两个圆之间的圆环面积．【答案】36cm2．提示：连接OC,OA.【例11】如图，在桌面上有半径为2cm的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？【答案】设三个圆的圆心为O1、2、3，连结1O2、23、31，可得边长为4cm的正△12O3，OOOOOOOOO则正△O123外接圆的半径为43cm，所以大圆的半径为43436OO3+2=33【例12】如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．【答案】（1）证明：连接MN则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴BCAB，∴··BMABBM=BCBNBN（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，1∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°．∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6