第八章静定结构的位移计算

第八章静定结构的位移计算内容提要在验算结构的刚度和超静定结构的内力分析中，都需要计算结构的位移。本章介绍结构位移的概念和虚功原理，重点介绍应用虚功原理计算静定结构的位移问题。用图乘法计算静定结构在荷载作用下产生的位移是本章的重点内容。8.1概述8.2静定结构在荷载作用下的位移计算公式8.3图乘法8.4支座移动引起的位移计算本章内容8.5互等定理小结8.1概述建筑结构在施工和使用过程中，结构杆件的形状会发生改变，称为结构的变形。结构变形时，结构上某个点发生的移动或某个截面发生的移动或转动，称为结构的位移。8.1.1位移的概念使结构发生位移的因素主要有以下三种：（1）荷载作用。（2）温度变化与材料收缩。（3）支座移动和制造误差。(a)例如图(a)所示的简支梁，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形，梁的跨中截面的形心C移动了一段距离，称为C点的线位移或挠度；支座截面B转动了一个角度，称为截面的角位移或转角。CCB又如图(b)所示的刚架，在荷载作用下发生如图中虚线所示的变形。刚架上的C点移动至点，则称为点C的线位移，用ΔC表示。CCCF（b）CVCHCHCCV还可将该线位移分解为沿水平方向和竖直方向的两个分量，分别称为点C的水平位移和竖向位移，分别用ΔCH和ΔCV表示，几何关系如图（b）所示，图中的为截面C的转角，称为截面C的角位移，上述线位移和角位移统称为绝对位移。C此外，在计算中还将涉及到另一种位移，即相对位移。例如图所示的刚架，在荷载F作用下，发生如图中虚线所示的变形。ABAABBΔAHΔBHFF为了方便起见，我们将上述的各种位移无论是线位移或是角位移，无论是绝对位移或是相对位移，统一称为广义位移。A、B两点的水平位移分别为ΔAH和ΔBH，它们之和为(ΔAB)H=ΔAH+ΔBH，称为A、B两点的水平相对线位移。A、B两个截面的转角分别为和，它们之和为，称为A、B两个截面的相对角位移。ABBAAB静定结构的位移计算是结构分析的一个重要内容，在工程设计和施工过程中，都需要计算结构的位移。静定结构的位移计算也是超静定结构内力分析的基础。概括地说，它有以下三个目的：8.1.2计算位移的目的1.验算结构的刚度在结构设计中，除了要考虑结构的强度要求外，还要计算结构的位移，以保证结构满足刚度要求，即结构的变形不得超过允许的极限值，确保结构在使用过程中不致发生过大变形。例如在房屋结构中，梁的梁的最大挠度不应超过跨度的1/400至1/200，否则梁下的抹灰层将发生裂痕或脱落。2.为计算超静定结构打基础在计算超静定结构的反力和内力时，除了要考虑结构的平衡条件外，还必须要考虑结构的位移条件，需要计算结构的位移。因此，静定结构的位移计算是求解超静定结构的基础。3.计算结构变形后的位置在结构的制作、架设等施工过程中，经常需要预先知道结构变形后的位置，以便采取相应的施工措施，因而也需要计算结构的位移。本章所研究的是线弹性变形体系的位移计算问题。所谓线弹性变形体系是指位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当全部荷载撤出时，由其引起的位移也完全消失。这种体系的位移也是微小的，而且应力与应变的关系符合胡克定律。8.2静定结构在荷载作用下的位移计算公式在力学中功的定义是：一个不变的集中力所做的功，等于该力的大小与其作用点沿力的作用线方向所发生的相应位移的乘积。当物体沿直线有位移Δ时[如图]，作用于物体的常力F在位移Δ上所做的功为。8.2.1实功与虚功cosFΔWFFαΔ如果一对大小相等方向相反的力F作用在圆盘的A、B两点上（如图）。设圆盘转动时，力F的大小不变而方向始终垂直于直径AB。当圆盘转过一角度时，两力所做的功为W=2Fr=M式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于力偶矩与角位移的乘积。由上述可知，功包含了两个因素，即力和位移。若用F表示广义力，用Δ表示广义位移，则功的一般表达式为W=FΔ从以上示例看出，一个广义力可以是一个力或一个力偶，其对应的广义位移是一个线位移或一个角位移。故广义力可有不同的量纲，相应的广义位移也可有不同的量纲。但在做功时广义力与广义位移的乘积却恒具有相同的量纲，即功的量纲。其常用单位为牛顿米(N·m)或千牛顿米(kN·m)。既然功是力与位移的乘积，根据力与位移的关系可将功分为两种情况：（1）位移是由做功的力引起的例如图所示简支梁，在静力荷载F1的作用下，当F1由零缓慢逐渐的加到其最终值时，其作用点沿F1方向产生了位移Δ11，简支梁达到平衡状态，其变形如图虚线所示，力F1在位移Δ11上做了功。Δ11FΔ11由于位移Δ11是由做功的力F1引起的，我们把力在自身引起的位移上所做的功称为实功。F（2）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因素引起的。若在如图所示简支梁的基础上，又在梁上施加另外一个静力荷载F2，梁就会达到新的平衡状态，F1的作用点沿F1方向又产生了位移Δ12如图所示。Δ11Δ22Δ12FF力F1(此时的F1不再是静力荷载，而是一个恒力)在位移Δ12上做了功。由于位移Δ12不是F1引起的，而是由力F2所引起的，我们把力在由其他因素引起的位移上所做的功称为虚功。在虚功中，既然做功的力和相应的位移是彼此无因果关系的两个因素，所以，可将二者看成是同一结构的两种独立无关的状态。其中，力系所属的状态称为力状态[图(a)]，位移所属的状态称为位移状态[图(b)]。（a）力状态（b）位移状态如果在力状态中有集中力、集中力偶、均布力和支座反力等外力，统称为广义力，用Fi表示。Δi表示与广义力Fi相应的广义位移，若用We表示外力虚功，则[图(a)]所示的力状态在[图(b)]所示的位移状态上所做的外力总虚功为当力与位移的方向一致时，虚功为正值，当力与位移的方向相反时，虚功为负值。iiΔFWe这里所说的虚功并非不存在，而是强调做功过程中力与位移之间彼此无因果关系。使力做虚功的位移，可以是荷载引起的位移、温度变化或支座移动等其他因素引起的位移，也可以是虚设的位移。但是上述的所有虚位移必须是约束条件所允许的微小位移。既然位移状态可以虚设，同样，力状态也可以虚设。变形体虚功原理是力学分析中广泛应用的一个十分重要的原理，现将其表述如下：对于变形体系，如果力状态中的力系满足平衡条件，位移状态中的变形满足约束条件，则力状态中的外力在位移状态中相应的位移上所作的外力总虚功等于力状态中的内力在位移状态中相应的变形上所作的内力总虚功，即We=Wi8.2.2变形体虚功原理上式称为变形体的虚功方程。式中：We表示外力虚功，即力状态中的所有外力在位移状态相应的位移上所作的虚功总和；Wi表示内力虚功，即力状态中的所有内力在位移状态相应的变形上所作的虚功总和。变形体系的虚功原理的证明从略。需要指出的是，在推导变形体的虚功方程时，并未涉及到材料的物理性质，只要在小变形范围内，对于弹性、塑性、线性、非线性的变形体系，上述虚功方程都成立。当结构作为刚体看待时，由于没有变形，则内力总虚功为零，即Wi=0，于是变形体虚功原理变成了刚体的虚功原理。变形体虚功方程变为刚体的虚功方程，即We=0。所以说刚体的虚功原理是变形体虚功原理的一个特例。在工程实际中组成结构的构件都是变形体，结构在荷载作用下不仅要发生变形，同时还产生相应的内力。因此，利用虚功原理求解变形体结构问题时，不仅要考虑外力虚功，而且还要考虑与内力有关的虚功。8.2.3位移计算的一般公式1.单位荷载法现在，我们结合如图所示刚架，讨论如何利用变形体虚功原理来建立计算平面杆件结构位移的一般公式。如图(a)中虚线表示刚架在荷载和支座移动等因素的作用下所发生的变形，这是结构的实际位移状态，简称实际状态。现在要求该状态K点沿水平方向的位移ΔK。(a)利用虚功原理求解这个问题，首先要确定两个彼此独立的状态，即力状态和位移状态。由于是求实际状态下结构的位移，所以应把结构的实际状态[图(a)]作为结构的位移状态。(a)而力状态则可以根据所求位移来虚设。为了便于求出位移和简化计算，我们选取一个与所求位移相对应的虚单位荷载，即在K点沿水平方向施加一个单位力=1，如图(b)所示。这是一个虚设的状态，简称虚拟状态。KF(b)1KF在虚单位荷载=1作用下，结构将产生虚反力和虚内力、、，它们构成了一个虚设力系。KFSFMNF(b)1KF2R3R1R根据变形体系的虚功原理，计算以上两种状态中虚拟状态的外力和内力在相应的实际状态上所做的虚功。则有得（a）式中：ε、、k——实际状态中的轴向应变、剪切应变和弯曲应变。式（a）即为平面杆系结构位移计算的一般公式。lllKKskMsFsFcRcRFdddSN2211cRskMsFsFlllKdddSN由以上位移计算公式的建立过程，可归纳出用虚功原理求结构位移的基本方法：(1)把结构在实际各种外因作用下的平衡状态作为位移状态，即实际变形状态。(2)在拟求位移的某点处沿所求位移的方向上，施加与所求位移相应的单位荷载，以此作为结构的力状态，即虚设力状态。(3)分别写出虚设力状态上的外力和内力在实际变形状态相应的位移和变形上所做的虚功，并由虚功原理得到结构位移计算的一般公式。我们把这种在沿所求位移方向施加一个单位力=1的位移计算方法称为单位荷载法。KF需要说明的是，上述平面杆系结构位移计算的一般公式，不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构；不仅适用于弹性材料，也适用于非弹性材料；不仅适用于荷载作用下的位移计算，也适用于由温度变化、制造误差以及支座移动等因素影响下的位移计算。2.几种典型的虚拟状态单位荷载法是计算结构位移的一般方法，其不仅可用于计算结构的线位移，也可以用来计算结构任何性质的位移，只要虚拟状态中所设虚单位荷载与所求的位移相对应，即保证广义力与广义位移的对应关系即可。现举出几种典型的虚拟状态如下：（1）若计算的位移是结构上某一点沿某一方向的线位移，则应在该点沿该方向施加一个单位集中力[(a)]。（2）若计算的位移是杆件某一截面的角位移，则应在该截面上施加一个单位集中力偶[图(b)]。1F1eM（3）若计算的是桁架中某一杆件的角位移，则应在该杆件的两端施加一对与杆轴垂直的反向平行集中力使其构成一个单位力偶，每个集中力的大小等于杆长的倒数[图(c)]。（4）若计算的位移是结构上某两点沿指定方向的相对线位移，则应在该两点沿指定方向施加一对反向共线的单位集中力[图(d)]。1F1F(5)若计算的位移是结构上某两个截面的相对角位移，则应在这两个截面上施加一对反向单位集中力偶[图(e)]。(e)1eM1eM(6)若计算的是桁架中某两杆的相对角位移，则应在该两杆上施加两个方向相反的单位力偶[图(f)]。需要明确的是，虚拟状态中单位荷载的指向是可以任意假设的，若按式（a）计算出来的结果是正值，则表示实际位移的方向与虚拟荷载的方向相同，否则相反。若静定结构的位移仅仅是由荷载作用引起的，没有支座位移的影响（即c=0），则式(a)可简化为8.2.4荷载作用下的位移计算公式式中，微段的变形ds、ds、kds是由荷载引起。lllKskMsFsFdddSN(b)若用FN、FS、M表示实际位移状态中微段上由荷载产生的轴力、剪力和弯矩，在线弹性范围内，变形与内力有如下关系：式中：EA、GA、EI——杆件的拉压刚度、剪切刚度、弯曲刚度，K为剪力分布不均匀系数，其与截面形状有关。(c)EIMkGAFKEAF，，SN将式（c）代入式（b），得(d)sEIMMsGAFFKsEAFFΔllldddSSNN式（d）为静定结构在荷载作用下位移计算的一般公式。式中，、、表示在虚拟状态中由广义单位荷载引起的虚内力，这些虚内力和原结构由实际荷载引起的内力，它们都可以通过静力平衡条件求得。NFSFM公式（d）综合考虑了轴向变形、剪切变形和弯曲变形对结构位移的影响。在实际应用中，则根据不同形式的结构特性，对不同形式的结构分别采用不同的简化计算公式。(1)对梁和刚架而