3.2.1复数代数形式的四则运算(用)

3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义我们引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：i21；形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示.一、知识回顾实部1.复数的代数形式：虚部z=a+bi(a,b∈R)(,)zabiabR复数2.复数的分类：00ba，非纯虚数00ba，纯虚数0b虚数0b实数3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．,,,,Rdcba若dicbia注：1)000abiab且2)一般来说，若两个复数不全为实数，只能说相等或不相等，而不能比较大小了.dbcaxyobaZ(a,b)z=a+bi直角坐标系中的点Z(a,b)复数z=a+bi平面向量OZ复数的几何意义（两种）三这者只是一一对应，不是相等。且这种关系的应用出题较多。对虚数单位i的规定练习.根据对虚数单位i的规定把下列运算的结果都化为a+bi（a、bR）的形式.3(2+i)=；(3-i)i=；i=；-5=；0=；2-i=.6+3i1+3i0+i-5+0i0+0i2+(-1)i（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律：abbaabba()()abcabc()()abcabc()abcabac那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？注意到i21，虚数单位i可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！知识引入注:⑴复数的减法是加法的逆运算；⑵易知复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).⑶复数的加减法可类比多项式的加减法进行.：已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i例1.计算)43()2()65(iii解:iiiii11)416()325()43()2()65(练习、计算(1)(1+3i)+(-4+2i)(2)(1－3i)+(2+5i)+(-4+9i)(3)已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则,复数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z1+z2=OZ1+OZ2=OZ符合向量加法的平行四边形法则.xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数z2－z1向量Z1Z2符合向量减法的三角形法则.|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1,Z2的距离(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|*已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义*.点A到点(1,2)的距离点A到点(－1,－2)的距离(3)|z－1|(4)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0,－2)的距离练习:已知复数m=2－3i,若复数z满足不等式|z－m|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?以点(2,－3)为圆心,1为半径的圆上1、|z1|=|z2|平行四边形OABC是2、|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是3、|z1|=|z2|，|z1+z2|=|z1-z2|平行四边形OABC是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形矩形正方形复数与点的对应关系如图练习:,2设z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1|z2+z1|=求|z2-z1|:2答案3.2复数代数形式的四则运算3.2.2复数代数形式的乘除运算知识回顾已知两复数z1=a+bi,z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;(2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i1.复数的乘法法则：2acadibcibdi)()acbdbcadi（说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.i2(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有,()(),().zzzzzzzzzzzzzzzzz12211231231231213()()abicdi解:原式=()()iiii2643213=()()ii813=iii28243=i525例1.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)复数的乘法与多项式的乘法是类似的.我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.))((1biabia）（例2：计算222ibabiabia22ba思考：在复数集C内，你能将分解因式吗？22yx2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.复数z=a+bi的共轭复数记作,zzabi记思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么zzzzzzzzzz12121212,另外不难证明:zz2a2bizz22ab22()abi（）222babia222()()2abiababi2222aabibi3(12)(34)(2)iii（）(112)(2)2015iii222ababi练习:1.计算(23)(23)ii=2.已知(3)10iz,则z133-i3.复数的除法法则先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即分母实数化dicbiadicbia)()())(())((dicdicdicbia22)()(dciadbcbdac(0).cdi2222acbdbcadicdcd例4.计算)43()21(ii解:iiii4321)43()21()43)(43()43)(21(iiii2510543468322iiii5251先写成分式形式化简成代数形式就得结果.然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)练习.计算⑴(7)(34)ii⑵21()1ii⑶113232ii1-i413i注:复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、化简等.-11212(1)(2)(3)(4)ZZZZZZ下列命题中正确的是如果是实数，则、互为共轭复数纯虚数的共轭复数是。两个纯虚数的差还是纯虚数两个虚数的差还是虚数。(2)1、1212121212121212()0,()0,()0,()0,AZZZZBZZZZCZZZZDZZZZ下列命题中的真命题为：若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。若则与互为共轭复数。D2、（1）已知求iziz41,232111212122,,,zzzzzzzz练习（2）已知求iziz2,1214211122,,()zzzzz（3）2)1(i;2iii11i1;iii11;i.i①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.）②设,则有:i2321.01;;12__23事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.____③.11;11;1;2)1(2iiiiiiiiii4.一些常用的计算结果拓展求满足下列条件的复数z:(1)z+(3－4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.5.设z为复数,且|||1|1|1|zzz，求的值.解：设()zabiabR，1(1)|||1|1zabizz，且22221(1)1abab2222120ababa解方程组,得21234ab|1||(1)|zabi22213(1)(1)324ab注：一般地，欲求一个复数，通常先设出复数的代数形式a＋bi（a，b∈R），而后利用已知条件列出关于a，b的方程组，求解出a，b，也即求得了这个复数，在这里，方程的思想方法得到了充分运用.另外,本题还可用几何知识来分析.