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摘要随机变量的独立性是统计学概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使很多实际问题的具体计算得到简化,所以关于随机变量独立性的研究构成了概率论的重要课题．本论文首先对随机变量独立性进行定义,然后分别对离散型随机变量和连续型随机变量独立性进行研究分析,同时得出了一些相关的推论,然后对独立随机变量与数字特征之间的关系以及独立随机变量和的分布进行论述证明．最后本论文对随机变量独立性的一些应用进行了整合分析．关键词:随机变量;独立性;数字特征随机变量的独立性及其应用2/30ABSTRACTTheindependenceoftherandomvariableisoneofthemostbasicconceptintheoryofprobabilitystatistics.Throughthestudyofitcanmakemanysimplifiesthecalculationoftheactualproblem.Studyofindependentrandomvariablesconstitutestheimportantsubjectofprobabilitytheory.Thispaperfirstindependenceofrandomvariablesaredefined.Thenrespectivelytothediscreterandomvariableandcontinuousrandomvariablesindependenceforthispaper.Somerelevantinferencesaredrawnatthesametime,andthentherelationshipbetweenthecharacteristicsofindependentrandomvariableswithdigitalandindependentrandomvariablesanddiscussesthedistributionofthecertificate.Finallythisthesisontheindependenceofrandomvariableapplicationintegrationanalysis.Keywords：Randomvariable;independence;numericalcharacteristics随机变量的独立性及其应用3/30目录摘要.......................................................................................................................................1ABSTRACT...................................................................................................................................2前言.........................................................................................................................................4第一章随机变量独立性及其判定.........................................................................................51.1随机变量独立性定义...................................................................................................51.1.1随机变量及随机变量独立性的定义....................................................................51.1.2随机变量独立性的两个简单定理........................................................................61.2离散型随机变量独立性的判定...................................................................................71.2.1离散型随机变量判别法一....................................................................................71.2.2离散型随机变量判别法二..................................................................................101.3连续型随机变量独立性的判定.................................................................................131.3.1连续型随机变量判别法一..................................................................................131.3.2连续型随机变量判别法二..................................................................................14第二章随机变量独立性的性质与应用...............................................................................162.1随机变量与数字特征.................................................................................................162.1.1随机变量独立性与数学期望..............................................................................162.1.2随机变量独立性与方差......................................................................................172.1.3随机变量独立性与协方差..................................................................................182.1.4随机变量独立性与相关系数..............................................................................182.2随机变量和的分布.....................................................................................................202.2.1独立离散型随机变量和的分布..........................................................................202.2.2独立连续型随机变量和的分布..........................................................................212.2.3独立的离散型随机变量与连续型随机变量和的分布.....................................222.3随机变量独立性的应用.............................................................................................242.3.1应用一利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数.........................242.3.2应用二求离散型独立随机变量的联合分布列..............................................252.3.3应用三利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度....26总结.......................................................................................................................................28致谢.......................................................................................................................................29参考文献.................................................................................................................................30随机变量的独立性及其应用4/30前言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支,而随机现象是相对于决定性现象而言的．由于随机现象的普遍性,使得其在现实生活中具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工业和农业生产等方面．而随机变量则是指随机事件的数量表现,随机变量的独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在科学理论研究还是在社会生产、生活等实际的应用中都具有非常重要的意义．当前概率论和数理统计很多已有的研究成果都是在随机变量独立性的前提下得到的,因而对随机变量独立性的研究具有非常重要的现实意义．随机变量独立性的研究经历着缓慢的发展过程．在上世纪九十年代后,有关随机变量独立性的研究进入了一个新的时期,将随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量,然后分别对其进行定向判定研究,并对随机变量的应用也展开了一个新的局面．本文将在此基础上对随机变量独立性判定做详细、全面的论述,并对随机变量独立性在求数字特征中的应用和独立随机变量和的分布等方面做详细的介绍．随机变量的独立性及其应用5/30第一章随机变量独立性及其判定1.1随机变量独立性定义在我们研究随机变量独立性判定时,首先我们需要了解什么是随机变量独立独立性,当然在此之前我们需要了解一个更为具体的概念,即什么是随机变量．随机变量表示随机试验中各种结果的实值单值函数．如某一时间段经过火车站安全门的人数,传真机在一定时间内收到的传真次数等等,都是关于随机变量的实例．1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义定义1.1.1设（Ω,F,P）为概率空间,ξ=ξ（ω）为Ω上定义的实值函数,如果有{ω：ξ(ω)𝑥}∈Ϝ,任x∈R则称ξ(ω)为随机变量．随机变量是Ω上关于F可测的实值函数．一般我们省略ω,将{ω：ξ(ω)𝑥}等简写成ξ,ξ(ω)等．随机变量在不同条件下因为偶然因素的影响,其取值可能不同,即随机变量具有不确定性、随机性．定义1.1.2设𝜉1,𝜉2,···,𝜉𝑛为概率空间（Ω,F,P）上的n个随机变量,若其联合分布函数等于各自的边缘分布函数之积,即F（𝑥1,···,𝑥𝑛）=𝐹1(𝑥1)···𝐹𝑛（𝑋𝑛）,其中𝑥𝑖∈𝑅,𝑖=1,···,