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第三讲中世纪的东西方数学I《周髀算经》与《九章算术》刘徽与祖冲之宋元数学中国传统数学的兴盛1.中算发展的第一次高峰数学体系的形成秦始皇陵兵马俑（中国,1983）秦汉时期形成中国传统数学体系中国现存最早的数学书《算数书》(西汉,约公元前170年,1983-1984年间湖北江陵张家山出土)《算数书》勾股定理的普遍形式《周髀算经》陈子测日法《周髀算经》(西汉,约公元前100年)求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。相似形方法《九章算术》六艺：礼、乐、射、御、书、数《周礼》《九章算术》（东汉，公元100年）方田《九章算术》《九章算术》粟米衰分少广商功均输盈不足方程勾股世界数学古典名著以筹算为基础的中国古代数学体系正式形成2.中算发展的第二次高峰数学稳步发展三国演义(中国，1998）魏晋南北朝时期中国传统数学稳步发展《九章算术注》公元263年撰《九章算术注》阐述了中国传统数学的理论体系与数学原理中国传统数学最具代表性的人物刘徽(魏晋,公元3世纪)（中国，2002）计算圆内接正3072边形求出圆周率为3927/1250即3.1416公元263年撰《九章算术注》。割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽的割圆术《九章算术注》徽率157/50即3.14刘徽的割圆术《九章算术注》割圆术(6边形)《九章算术注》割圆术(12边形)《九章算术注》割圆术(24边形)《九章算术注》割圆术(48边形)《九章算术注》割圆术(96边形)《九章算术注》刘徽对π的估算值（密克罗尼西亚，1999）《九章算术注》《缀术》祖冲之(南朝宋、齐,429-500年)祖冲之(429-500年)（中国，1955）圆周率计算球体体积公式《缀术》《缀术》《隋书》（唐，魏征主编）古之九数，圆周率三，圆径率一，其术疏舛。自刘歆、张衡、刘徽、王蕃、皮延宗之徒，各设新率，未臻折衷。宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。《缀术》密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。祖冲之(429-500年)公元462年,祖冲之算出3.1415926π3.1415927密率355/113，约率22/7《隋书·律历志》1913年起称355/113为祖率所著之书,名为《缀术》,学官莫能究其深奥，是故废而不理。《隋书·律历志》《隋书·律历志》《缀术》割之又割《缀术》圆内接正12288边形和24576边形3.14159261π3.14159271《缀术》祖氏原理：幂势既同则积不容异卡瓦列里原理(1635)不可分量原理卡瓦列里(意,1598-1647年)《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》《夏候阳算经》、《张邱建算经》、《缀术》、《五曹算经》《五经算经》、《缉古算经》。《算经十书》汉唐千余年间中国数学发展的水平《算经十书》公元6563.中算发展的第三次高峰数学全盛时期毕升发明活字印刷术(约1041—1048年)促进了数学著作的保存与流传社会背景贾宪：《黄帝九章算术细草》(1050)增乘开方法贾宪三角开方作法本源图帕斯卡《论算术三角形，以及另外一些类似的小问题》(1654)帕斯卡(法,1623-1662年)古法七乘方图算术三角形(利比里亚，1999)贾宪三角隙积术沈括(北宋,1030-1094年)《梦溪笔谈》(1093)李约瑟：中国科学史的里程碑会圆术隙积术隙积术天元术李冶(金、元,1192-1279年)天元术（一元高次方程）列方程法“立天元一为某某”天元术《测圆海镜》(1248)“设x为某某”李冶的天元术天元术大衍术秦九韶(南宋,约1202-1261年)大衍类大衍术《数书九章》(1247)天时类田域类测望类赋役类钱谷类营建类军旅类市易类(1)大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；(2)天时类，历法推算，雨雪量的计算；(3)田域类，土地面积；(4)测望类，勾股、重差等测量问题；(5)赋役类，田赋、户税；(6)钱谷类，征购米粮及仓储容积；(7)营建类，建筑工程；(8)军旅类，兵营布置和军需供应；(9)市易类，商品交易和利息计算．《数书九章》大衍求一术(中国剩余定理)大衍术秦九韶：《数书九章》(1247)《孙子算经》(约公元400年)物不知数问题(孙子问题,孙子剩余定理):今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意大利斐波那契1202年瑞士欧拉1743年德国高斯1801年秦九韶：《数书九章》(1247)正负开方术正负开方术(秦九韶法)意大利鲁菲尼1804年英国霍纳1819年鲁菲尼(意,1765-1822年）垛积术杨辉(南宋,公元13世纪)《详解九章算法》(1261)垛积术垛积术杨辉三角《算学启蒙》(1299)朱世杰(约1260-1320年)四元术《四元玉鉴》(1303)日用数学和商用数学通俗著作四元术(“天元”、“地元”、“人元”和“物元”)招差术(高次内插公式)《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”四元术四元术《四元玉鉴》卷首“假令四草”之“四象会元”元气居中天元于下地元于左人元于右物元于上四元术以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上四元术罗士琳：汉卿在宋元间，与秦道古（九韶）、李仁卿（冶）可称鼎足而三。道古正负开方，仁卿天元如积，皆足上下千古，汉卿又兼包众有，充类尽量，神而明之，尤超越乎秦李之上。莫若：《四元玉鉴》，其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。四元术萨顿：朱世杰是汉民族，他所生存时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家。郭守敬(元,1231－1316年)大天文学家、数学家、水利专家和仪器制造家工部郎中、太史令、都水监事和昭文馆大学士内插法郭守敬(元,1231－1316)(中国，1962)郭守敬与数学家王恂(元,1235－1281)在公元1280年完成的《授时历》中使用三次内插公式一年365.2425天1281－1643年使用，计363年内插法简仪内插法仰议内插法登封观星台(元,1276)嵩山(中国,1995)内插法宋元算法隙积术大衍术开方术垛积术招差术天元术中算的衰落《四元玉鉴》是宋元(960-1368)数学的绝唱明初起300余年内中国传统数学研究呈现全面衰退明清(1368-1911)共543年宋元数学的精粹长期失传、无人通晓第三讲思考题1、简述刘徽的数学贡献。2、用数列极限证明：圆内接正6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。3、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。4、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。