高考数学复习专题-复数

第一章：复数一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1，即21i；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21x的一个根，方程21x的另一个根是-i．（4）i的周期性：41nii，421ni，43nii，41ni．2．数系的扩充：复数(0)ii(0)i(0)i(0)ababbaabbaba实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如i()ababR，的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即()zabiabR，，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()abiabR，，当且仅当0b时，复数()abiabR，是实数a；当0b时，复数zabi叫做虚数；当0a且0b时，zbi叫做纯虚数；当且仅当0ab时，z就是实数06．复数集与其它数集之间的关系：CRQZN7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，abd，，，c，dR，那么iiabcdac，bd二、复数的几何意义1.复平面、实轴、虚轴：复数i()zababR，与有序实数对ab，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数i()zababR，可用点Zab，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2.对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为00，，它所确定的复数是00i0z表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3.复数zabi一一对应复平面内的点()Zab，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数1z与2z的和的定义：12zziiabcdiacbd2．复数1z与2z的差的定义：12zziiabcdiacbd3．复数的加法运算满足交换律:1221zzzz4．复数的加法运算满足结合律:123123()()zzzzzz5．乘法运算规则：设1izab，2izcd(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积12iiizzabcdacbdbcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）123123zzzzzz（2）123123()()zzzzzz（3）1231213zzzzzzz7．复数除法定义：满足iiicdxyab的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：()abicdi或者abicdi8．除法运算规则：设复数iab(a、bR)，除以icd(c，dR)，其商为ixy（x、yR)，即(i)iiabcdxy∵xyicdicxdydxcyi∴iicxdydxcyab由复数相等定义可知cxdyadxcyb，解这个方程组，得2222acbdxcdbcadycd，于是有:(i)iabcd2222acbdbcadicdcd②利用22iicdcdcd于是将iiabcd的分母有理化得：原式22i(i)(i)[i(i)]()ii(i)(i)ababcdacbdbcadcdcdcdcd222222()()iiacbdbcadacbdbcadcdcdcd．∴((i)iabcd2222iacbdbcadcdcd点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数icd与复数icd，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而22cdicdicd是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．10.求证：（1）22()zz；（2）2||zzz；（3）1212zzzz；（4）1122zzzz四、本章小结1、2ZZZ2、22baibcadbdacbiadic（竖着加+叉着减）/模方iii11iii11ii212ii2123、4Tini1i14、会辨别实部、虚部、纯虚数、第几象限？深刻理解什么是部？5、平时做题时，要会设复数biaz，不能硬算.6、2222dcbadicbiazdicbiaz7、学生要掌握：一元二次方程的虚根求法五、习题集①单选题必做题：1.已知复数2)31(3iiz，z是z的共轭复数，则zz（A）A.14B.12C.1D.22.已知i是虚数单位，复数iai21为纯虚数，则实数a为（A）A.2B.2C.12D.213.已知i是虚数单位，202122iiiz，且z的共轭复数为z，则z在复平面内对应的点关于虚轴对称得点在（B）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4.已知复数1z满足1211zii（i是虚数单位），复数2z的虚部为2，且12zz是实数，则21zz的虚部为（C）A.103B.103C.52D.i525.在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转6，所得向量对应的复数是（A）A.1322iB．3122iC．1322iD．3122i6.设i为虚数单位，已知复数z满足2zizi，则其共轭复数z为（B）A．1iB．1iC．22iD．22i7.已知复数112iz，121zz，则复数2z的虚部为（B）A．25B．25C．15D．158.已知复数z满足13zii（i为虚数单位)，则复数z（B）A．12iB．12iC．2iD．2i9.若复数221zii，其中i是虚数单位，则复数z的模为（A）A.2B.22C.3D.210.已知复数1zi，则221zzz（B）A.2iB.2iC.2D.211.设i是虚数单位，且20141ikiki，则实数k等于（D）A.2B.0C.1D.112.复数321izii，在复平面上对应的点位于（C）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13.（2013天津河东一模，1）若1aizi是纯虚数，则实数a的值是（C）A.1B.0C.1D.214.若复数2321aaai是纯虚数，则实数a的值是（B）A.1B.2C.1或2D.115.已知复数2313izi，z是z的共轭复数，则zz（A）A.14B.12C.1D.216.设117,,12iabRabii（i是虚数单位），则ab的值是______.817.设1z是复数，211zziz（其中1z表示1z的共轭复数），已知2z的实部是1，则2z的虚部是_____答案：118.已知复数1z满足1211zii（i是虚数单位），复数2z的虚部为2，且12zz是实数，则2z______答案：242zi19.在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)ixxx是纯虚数，则实数1x；③z是虚数的一个充要条件是zzR；④若ab，是两个相等的实数，则()()iabab是纯虚数；⑤zR的一个充要条件是zz．⑥1z的充要条件是1zz．A．1B．2C．3D．4解析：复数为实数时，可以比较大小，①错；1x时，22(1)(32)0xxxi，②错；z为实数时，也有zzR，③错；0ab时，()()0ababi，④错；⑤⑥正确．20.设3i12iz，则z=（C）A.2B.3C.2D.121.设2i3i35ixy（i为虚数单位），其中x，y是实数，则ixy等于（A）A．5B．13C．22D．222.复数z满足条件：21izz，那么z对应的点的轨迹是（A）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线23.设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为),(yx，则（C）A.22+11()xyB.22(1)1xyC.22(1)1xyD.22(+1)1yx（2020-2019年高考题）0.（2020•全国1卷）若z=1+i，则|z2–2z|=（D）A.0B.1C.2D.21.（2020•全国2卷）设复数1z，2z满足izzzz3,22121，则12||zz=__________.【答案】232.（2020•全国3卷）复数113i的虚部是（D）A.310B.110C.110D.3103.（2020•江苏卷）已知i是虚数单位，则复数(1i)(2i)z的实部是_____.【答案】34.（2020•新全国1山东）2i12i（D）A.1B.−1C.iD.−i5.（2020•天津卷）i是虚数单位，复数82ii_________．【答案】32i6.（2020•浙江卷）已知Ra，若iaa)2(1(i为虚数单位)是实数，则a=（C）A.1B.–1C.2D.–27.（2020•上海卷）已知复数z满足12zi（i为虚数单位），则z_______【答案】58.（全国1理，2）设复数z满足=1iz，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()xyB．221(1)xyC．22(1)1yxD．22(+1)1yx9.（全国1文，1）设3i12iz，则z=（）A．2B．3C．2D．110.（全国2理2）设z=–3+2i，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11.（全国3理、文，2）若(1i)2iz，则z=A．1iB．1+iC．1iD．1+i12.（北京，理、文2）已知复数z=2+i，则zzA.3B．5C．3D．513.（天津理、文9）i是虚数单位，则5ii1的值为_____________．14.（浙江11）复数11iz（i为虚数单位），则||z=___________．②单选题必做题：1．（2020·内蒙古宁城·月考（理））1121iii等于（）A．2iB．2iC．2iD．2i2．（2020·黑龙江鹤岗一中月考（文））已知复数13aizi为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a（）A．3B．3C．13D．133．（2020·四川阆中中学月考（理））已知i为虚数单位，复数3ziai，且5z，则实数a（）A．-4B．4C．4D．24．（2020·山西运城·高二期末（文））若复数20181()31izii，则z（）A．10B．22C．4D．20185．（2020·山西运城·高二期末（文））243ii（）A．1255iB．1255iC．2551iD．2155i6．（2020·唐山市第十一中学开学考试）121ii（）A．3iB．5iC．5iD．23i7．（2020