教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第5章-2平面向量与复数

高考调研第1页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习第五章平面向量与复数高考调研第2页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习第2课时平面向量基本定理及坐标运算高考调研第3页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．高考调研第4页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意平面向量的坐标运算承前启后，不仅使向量的加法、减法和实数与向量的积完全代数化，也是学习向量数量积的基础，因此是平面向量中的重要内容之一，也是高考中命题的热点内容．在这里，充分体现了转化和数形结合的思想．高考调研第5页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐题组层级快练高考调研第6页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习1．平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝λ1e1＋λ2e2.不共线高考调研第8页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习2．平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．高考调研第9页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习3．平面向量的坐标运算(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.高考调研第10页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习4．向量平行与垂直的条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a，b均不为0时，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(3)若a≠0，则与a平行的单位向量为±a|a|.高考调研第11页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，AB→，AC→可以作为基底．(2)在△ABC中，设AB→＝a，BC→＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，且μ1＝μ2.高考调研第12页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成x1x2＝y1y2.答案(1)√(2)×(3)√(4)×高考调研第13页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习答案B解析根据平面向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选B.2．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A．a＝(1,2)，b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3,5)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝(－34，12)，b＝(3，－2)高考调研第14页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习3．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2答案B解析a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.高考调研第15页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习4．已知▱ABCD的顶点A(2,1)，B(3,2)，C(4，－1)，则顶点D的坐标为________．答案(3，－2)高考调研第16页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习5．(2014·北京理)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.解析利用共线向量求参数值．∵λa＋b＝0，∴λa＝－b.∴|λa|＝|－b|＝|b|＝22＋12＝5.∴|λ|·|a|＝5.又|a|＝1，∴|λ|＝5.高考调研第17页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第18页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习题型一平面向量基本定理的应用例1如图所示，|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝3，∠AOB＝60°，OB→⊥OC→，设OC→＝xOA→＋yOB→.求实数x，y的值．高考调研第19页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由|OB→|＝1，|OC→|＝3，OB→⊥OC→，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，∴BC∥OD，∴OC→＝OD→＋OB→＝－2OA→＋OB→.∴x＝－2，y＝1.【答案】x＝－2，y＝1高考调研第20页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1注意转化思想在本题中的应用，通过本题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底．高考调研第21页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB→，BC→分别为a，b，则AH→＝()A.25a－45bB.25a＋45bC．－25a＋45bD．－25a－45b高考调研第22页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】设AH→＝λAF→，DH→＝μDE→.而DH→＝DA→＋AH→＝－b＋λAF→＝－b＋λ(b＋12a)，DH→＝μDE→＝μ(a－12b)．高考调研第23页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习因此，μ(a－12b)＝－b＋λ(b＋12a)．由于a，b不共线，因此由平面向量的基本定理，得μ＝12λ，－12μ＝－1＋λ.解之得λ＝45，μ＝25.故AH→＝λAF→＝λ(b＋12a)＝25a＋45b.故选B.【答案】B高考调研第24页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二向量坐标的基本运算例2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN→的坐标．高考调研第25页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.高考调研第26页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)．∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18)．高考调研第27页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)(6，－42)(2)m＝－1，n＝－1(3)(9，－18)高考调研第28页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．高考调研第29页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(1)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB→＝(2,4)，AC→＝(1,3)，则BD→＝________.【解析】AD→＝BC→＝AC→－AB→＝(－1，－1)，BD→＝BA→＋AD→＝(－2，－4)＋(－1，－1)＝(－3，－5)．【答案】(－3，－5)高考调研第30页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】设a＝(x，y)，x0，y0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．【答案】(－4，－2)(2)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．高考调研第31页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习例3平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．回答下列问题：(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)设d＝(x，y)满足(d－c)∥(a＋b)且|d－c|＝1，求d.题型三平面向量平行的坐标表示高考调研第32页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)a＋kc＝(3,2)＋k(4,1)＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)，∴3＋4k－5＝2＋k2.∴6＋8k＝－10－5k.∴k＝－1613.(2)d－c＝(x，y)－(4,1)＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)．∵(d－c)∥(a＋b)，∴x－42＝y－14，即y－1＝2(x－4)．①高考调研第33页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习又|d－c|＝1，∴x－42＋y－12＝1.②①代入②，得5(x－4)2＝1，∴x＝4±15.∴x＝4＋55，y＝255＋1或x＝4－55，y＝－255＋1.∴d＝(4＋55，255＋1)或d＝(4－55，－255＋1)．高考调研第34页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)k＝－1613(2)d＝(4＋55，255＋1)或d＝(4－55，－255＋1)高考调研第35页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习探究3两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用，一般地，如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是：x1y2－x2y1＝0”比较简捷．高考调研第36页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝________.【解析】∵a＝(1,2)，b＝(－3,0)，∴2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)．又∵(2a＋b)∥(a－mb)，思考题3∴－1×2－4(1＋3m)＝0，∴m＝－12.【答案】－12高考调研第37页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．高考调研第38页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】因为OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，所以AB→＝(3,1)，BC→＝(－m－1，－m)．由于点A，B，C能构成三角形，所以AB→与BC→不共线．而当AB→与BC→共线时，有3－m－1＝1－m，解得m＝12.故当点A，B，C能构成三角形时实数m满足的条件是m≠12.【答案】m≠12高考调研第39页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习1．解题时，要适当