高考数学复习 二次函数 (2)

主页一轮复习讲义幂函数与二次函数2主页涉及方程f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)的实根分布问题,一般情况下要从四个方面考虑:①f(x)图象的开口方向;②方程f(x)=0的判别式;④区间端点处函数值的符号.③f(x)图象的对称轴与区间的关系;1.二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题忆一忆知识要点要点梳理主页①方程f(x)=0有两正根②方程f(x)=0有两负根③方程f(x)=0有一正根一负根12120,0,0≥bxxacxxa0,02(0)0≥baf12120,0,0≥bxxacxxa0,02(0)0≥baf0ca0c忆一忆知识要点记f(x)=ax2+bx+c(a0)1.二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题要点梳理主页根的分布图象充要条件oxykoxyk02()0bkafk12xxkoxykoxyoxyk02()0bkafk12kxxoxykoxyk()0fk12xkx主页根的分布图象充要条件121202()0()0bkkafkfk1122kxxk()0()0()0()0fmfnfpfq1mxnoxyk2k1oxyk2k1oxyk2k1oxyqmnpoxyqmnp2pxqmnpq主页根的分布图象充要条件两个实根有且仅有一根在区间内12()()0fkfk1121()022fkkkbka12[,]kkoxyk2k1x1x2oxyk2k1x1x2oxyk2k1x1x2oxyk2k1x1x2oxyk2k1x1x2oxyk2k1x1x22122()022fkkkbka主页222(1)1[1,1]yxxxx即,与直线y=k有交点,≤≤minmax()(),fxkfx≤≤(1)(1).fkf≤≤13.kxy-11Y=k【1】若方程x2-2x=k在区间[-1,1]上有解,则实数k的取值范围为_____________.22xxk解：方程=在[-1,1]有解,-1≤k≤3由图象，得主页,1.1,mm解：1(1,2)(1,2),m又且在上是增函数51112,(2,).22mm即【2】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且则实数m的取值范围是____________.0,12,522m主页112,且01.52.2m由图可知，方法2:设f(x)=x2-mx+1,则f(0)=1.(0)10,(1)20,(2)520.ffmfm【2】方程x2-mx+1=0的两根为α,β且则实数m的取值范围是____________.0,12,522m主页例1若关于x的方程x²-2ax+2+a=0有两个不相等的实根,分别满足下列条件,求a的取值范围。（1）方程两根都大于1；（2）方程一根大于1，另一根小于1。(1)2＜a＜3(2)a＞3主页Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象方程ax2+bx+c=0的根ax2+bx+c0(a0)的解集ax2+bx+c0(a0)的解集有两不等实根x1,x2{x|xx1,xx2}有两相等实根x1=x2无实根{x|x≠x1}Royoyx1x2xoyoyx1x2xoxyoxyx1oxyoxyoxyoxyx1oxy12oxy123.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系{x|x1xx2}ØØ主页4.不等式ax2+bx+c0恒成立问题①ax2+bx+c0在R上恒成立③f(x)=ax2+bx+c0(a0)在[m,n]上恒成立f(x)min0(x∈[m,n])2040abac00abc或②ax2+bx+c0在R上恒成立2040abac00abc或2()0bmafm2()0bnafn或2240≤≤bmnabac或④f(x)=ax2+bx+c0(a0)在[m,n]上恒成立()0()0fmfn要点梳理主页则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤2()29,[2,3],gxxxx记min()(3)9,gxg9.m≤【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．主页问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx2981()2(),[2,3],48fxxmxmax()(3)90,fxfm≤9.m≤23y..xo（2）转换求函数的最值例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤主页(2)0(3)0ff≤≤则10090mm≤≤解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx9.m≤23y..xo例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤（３）数形结合思想主页解：据题意，由已知得:98189818[,]44mm不等式解集为：≥≤981834981824mm23A8180m，≥9.m≤例1.关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,则实数m的取值范围是_______.2290≤xxm9m≤（４）不等式解集法主页例2.设不等式mx2-2x-m+10对于满足|m|≤2的一切值都恒成立，求实数x的取值范围.解：设f(m)=mx2-2x-m+1,(2)0,(2)0,ff13117.22x解得【点评】解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.则f(m)是一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当-2≤m≤2时，线段在x轴下方,222230,2210,xxxx即所以实数x的取值范围是13117.22xx{|}主页≤≤时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．当2122202xaxxa2221[,2]2axx解：在上恒成立，min222.uauxx令，则只需2111222ux）又（，1111,2,24,.222xux当［］从而时，［］，［］1.2a≥12a≥【3】主页已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t).解：f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16.①当t+14,即t3时，f(x)在[t,t+1]上单调递增.此时h(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7；②当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时，h(t)=f(4)=16；③当t4时，f(x)在[t,t+1]上单调递减.此时h(t)=f(t)=-t2+8t.2267,(3),()16,(34),8,(4).ttthttttt≤≤综上可知定直线动区间主页【例3】已知函数在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a的值.2142ayxax221()(2),24ayxaa解：.2ax对称轴为①当0≤≤1，即0≤a≤2时，2a22max11(2)(2)2,44yaaaa，由得a=3或a=-2,与0≤a≤2矛盾.不合要求；②当0，即a0时，y在[0，1]上单调递减，2a有ymax=f(0)=2，12426.aa定区间直线动主页112,42aa106.3aa,或③当1，即a2时，y在[0，1]上单调递增，2a10.3a解之，得综上，得有ymax=f(1)=2,主页例3.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}.(2)由图象可知，y＝f(x)与y＝mx图象有四个不同的交点，直线y＝mx应介于x轴与切线l1之间.解:作出图象如图所示.(1)递增区间为[1,2]和[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]和[2,3].得x2＋(m－4)x＋3＝0.主页由Δ＝0，得423.m当时，423m3(1,3),x舍去.423.m(0,423).m所以集合M＝{m|0＜m＜4－2}.3例3.已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝mx有四个不相等的实根}.主页19．(本小题满分12分)设命题:p实数x满足22430xaxa,其中0a,命题:q实数x满足2260,280.xxxx≤（Ⅰ）若1,a且pq为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.20．(本小题满分12分)若函数3211(1)132yxaxax在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围.21．(本小题满分12分)甲方是一农场，乙方是一工厂，乙方生产须占用甲方的资源，甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.乙方在赔付甲方前，年纯收入P(元)与年产量t(吨)满足函数关系P=2000t；若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S(元)(以下称S为赔付价格)，则其年利润为Q(元)．(I)求乙方的年利润Q(元)关于年产量t(吨)的函数表达式，并求出当年利润p(元)最大时的年产量；(Ⅱ)甲方每年受乙方生产影响的经济损失为20.002yt(元)，在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少?(净收入=获赔金额-经济损失)22．(本小题满分14分)已知二次函数2()fxaxbxc.(I)若10f，试判断函数()fx零点个数；(Ⅱ)是否存在,,abcR，使()fx同时满足以下条件①对,(4)(2)xfxfxR，且()0fx≥，②对xR,都有210()(1)2fxxx≤≤，若存在，求出,,abc的值，若不存在，请说明理由.主页22．解：（1）10,0,fabcbac．2224()4(),bacacacac当ac时0，函数()fx有一个零点当ac时，0，函数()fx有两个零点．------------4分（2）假设,,abc存在，由①知抛物线的对称轴为1x，且min()0fx，∴21,240.4baacba22,.4,baacbac-------------------------8分由②知对xR,都有210()(1)2fxxx≤≤令1x，得0(1)10f≤≤(1)10f(1)1f1abc．由1,2,,abcbaac得11,42acb，-------------------------------12分当11,42acb时，221111()(1)4244fxxxx，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4fxxx