教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第5章-3平面向量与复数

高考调研第1页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习第五章平面向量与复数高考调研第2页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习第3课时平面向量的数量积高考调研第3页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．高考调研第4页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习请注意这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．高考调研第5页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第6页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第7页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)a与b的夹角为度时，叫a⊥b.(3)若a与b的夹角为θ，则a·b＝.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.(5)a在b的方向上的投影为.1．数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作OA→＝a，OB→＝b，则__________，叫做向量a与b的夹角；范围是.∠AOB＝θ900°≤θ≤180°|a|·|b|cosθx1x2＋y1y2|a|cosθ高考调研第8页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝x21＋y21，cosθ＝.a⊥b⇔.a∥b⇔.x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22x1x2＋y1y2＝0x1y2－x2y1＝0高考调研第9页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习2．数量积满足的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝．(3)(a＋b)·c＝.b·aa·(λb)a·c＋b·c高考调研第10页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习3．注意(1)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(2)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(3)a·b中的“·”不能省略．高考调研第11页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．高考调研第12页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(3)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．(4)△ABC内有一点O，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，且OA→·OB→＝OB→·OC→，则△ABC一定是等腰三角形．(5)在四边形ABCD中，AB→＝DC→且AC→·BD→＝0，则四边形ABCD为矩形．答案(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×高考调研第13页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习2．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．2答案A解析∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝18cos〈a，b〉＝－12，∴cos〈a，b〉＝－23.∴a在b方向上的投影是|a|cos〈a，b〉＝－4.高考调研第14页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习3．(2014·重庆文)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝10，则a·b＝________.答案10解析∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝－22＋－62＝210.∴a·b＝210×10cos60°＝10.高考调研第15页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习4．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－12，则|a＋2b|＝________.答案3解析|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝3，则|a＋2b|＝3，故填3.高考调研第16页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习5．(2015·东北三校联考)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与向量a＋2b的夹角等于()A．150°B．90°C．60°D．30°答案D高考调研第17页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习解析∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos60°＝12，∴|a＋2b|＝23.∴a·(a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cosθ＝2×23cosθ＝43cosθ.又a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos60°＝6，∴43cosθ＝6，cosθ＝32，θ∈[0°，180°]，∴θ＝30°，故选D.高考调研第18页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第19页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习例1(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【思路】根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.题型一平面向量的数量积的运算高考调研第20页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×32＝53.高考调研第21页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】①±10②0③53高考调研第22页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)已知点A，B，C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5，则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→的值是________．高考调研第23页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝π2，cosA＝35，cosC＝45，∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝BC→·CA→＋CA→·AB→＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×45－15×35＝－25.高考调研第24页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：如图，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)．∴AB→＝(－3,0)，BC→＝(0,4)，CA→＝(3，－4)．∴AB→·BC→＝－3×0＋0×4＝0，BC→·CA→＝0×3＋4×(－4)＝－16，CA→·AB→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－25.高考调研第25页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习方法三：CA→在BC→上的投影为数量CB，CA→在AB→上的投影为数量BA，因此BC→·CA→＝－BC2→＝－16，CA→·AB→＝－AB2→＝－9，AB→·BC→＝0.∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－25.高考调研第26页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习方法四：AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝0＋CA→·(BC→＋AB→)＝CA→·AC→＝－AC2→＝－25.方法五：∵AB→＋BC→＋CA→＝0，将其两边平方可得AB2→＋BC2→＋CA2→＋2(AB→·BC→＋AB→·CA→＋BC→·CA→)＝0，故AB→·BC→＋AB→·CA→＋BC→·CA→＝－12(AB2→＋BC2→＋CA2→)＝－25.【答案】－25高考调研第27页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【讲评】本题充分体现了求向量数量积的各种方法，方法一，采用的定义法，要注意两个向量的夹角；方法二，采用了坐标法，引入直角坐标系，明确向量的坐标进行运算；方法三，采用了向量数量积的几何意义，注意向量CA→在BC→，AB→上的投影都是数量；方法四，运用了数量积的运算法则；方法五，运用了平方这个技巧．高考调研第28页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习探究1(1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，若知道向量的坐标a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则求数量积时用公式a·b＝x1x2＋y1y2计算．(2)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．高考调研第29页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(a－2b)·(a＋b)；(2)|a＋b|；(3)|3a－4b|.思考题1高考调研第30页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】a·b＝|a|·|b|cos120°＝4×2×(－12)＝－4.(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝12.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝12，∴|a＋b|＝23.(3)|3a－4b|2＝(3a－4b)·(3a－4b)＝9a2－24a·b＋16b2＝9|a|2－24a·b＋16|b|2＝16×19，∴|3a－4b|＝419.【答案】(1)12(2)23(3)419高考调研第31页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习题型二向量的夹角例2(1)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A.865B．－865C.1665D．－1665高考调研第32页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5,12)．由a，b＝a·b|a||b|＝1665，故选C.【答案】C高考调研第33页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(2)(2015·天津静海一中期末)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6高考调研第34页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0.由|a＋b|＝2|a|，得a2＋2a·b＋b2＝4a2，即b2＝3a2.所以|b|＝3|a|.所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.所以向量a＋b与a的夹角的余弦值为cosθ＝a＋b·a|a＋b|·|a|＝a22|a|·|a|＝12，所以θ＝π3，选B.高考调研第35页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：作▱ABCD，使AB→＝a，AD→＝b，则AC→＝a＋b，DB→＝a－b，由|a＋b|＝|a－b|，知▱ABCD为矩形．又|a＋b|＝2|a|，所以∠CAB＝π3.故选B.【答案】B高考调研第36页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)求两向量夹角的方法一般是利用夹角公式：cosθ＝a·b|a|·|b|.(2)在解题过程中要注意等价转化和数形结合思想．高考调研第37页第五章平面向量与复数新课标版·数学（理）·高三总复习(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝