高考数学复习-正弦定理

正弦定理欧阳炼.C.B.A引例：为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A、C两点的距离？ABCcba,,,,RtABCCCcAaBb在中，为直角所对的边为长所对的边长为所对的边长为根据正弦函数的定义，我们有sin,aAcsinsinsinabcABC对于直角三角形我们有，那么此关系式对于一般的三角形是否仍成立呢？sinbBcsinsinabcAB所以又因为sinC=1，sinsinsinabcABC所以ABC当是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，我们有sinCDBasinCDAbsinsinaBbACD所以,sinsinabAB即,sinsinsinsinsinbcBCabcABC同理，在ABC中，所以ABC当是钝角三角形时，BC边上的高为AD，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D,有sin,sinsinsinsinsinADcBADbCcBbCbcBC所以即sin,sin(180)CEaBCEbAo又因为sinsin(180)sinsinsinsinaabAABabcABCo故所以正弦定理：从上面的讨论我们得到下面的结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinsinabcABC正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。ABC一般地，把三角形的三个角，，和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形OABCCOOADC圆为的半径为R的外接圆，连接并延长，与圆交于点D，连接BD，故，在RtBD中，sin2aDR2sinaRA所以abcOBCAD2,2sin2sinsincRRCacRACb同理sinBb则sinBsinA从正弦定理的结构，我们知道：（1）已知三角形的两角和任意一边，可以求出三角形中其他的元素（两角一边）（2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角，可以计算出三角形中其他的元素（两边一对角）基础训练一（两角和一边）1、在中，已知，求a。ABC30,45,10CAc00sinsin210sin10sin4521021sinsin302acACcAaCQ解：26045ABCACoo、在中，，，b=2,则此三角形的最小边长为多少？604575ACBoooQ解，所以，故c边最短。sin22sin2232sin(4530)cCCcooQbsinBbsinB基础训练2（两边和其中一边所对的角）0363,6,30.bcCa、在ABC中，已知，求sin3sin2,120obCBcBo解：根据正弦定理有因为bc，所以B=60或60sin6sin9012sinsin30oooBcAaCo（1）当时，A=9012030,sin6sin306.sinsin30ooooBAcAaC（2）当时，612aa所以或60oa4、在ABC中，已知=503,b=50,A=，求B和c.,sin50sin601sin2503aBABbABa解：b,是锐角。又因为oQ030,150()90oBBC舍去osin503sin90100sinsin60aCcAoo05、已知在ABC中，a=4cm,b=5cm,A=120,解三角形。04,5,,,120,ababABAB分析：在这里有所以根据三角形的性质有而所以也是一个钝角，这种情况是不存在的。A的范围a,b关系解的情况（按角A分类）A为钝角或直角A为锐角a＞ba≤ba≥ba＜b且a＜bsinAa＜b且a=bsinAa＜b且a＞bsinA一解无解一解无解一解两解讨论已知两边和一边对角的斜三角形的解：sinsinbABa,2,45oABCaxbBx6、已知中，，若三角形有两解，则的取值范围是（）.2.2.222.223AxBxCxDxC.sin.sin.sin.sinAabABabACabADabA7.在ABC中，下列关系一定成立的是（）D1.2sinsinsin2.sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsin3.sin:sin:sin::abcRRABCABCabcabABCABacbcabcACBCABCABCabc（为的外接圆半径）正弦定理公式主要变形：拓展训练sin6090AABCaoooocosB1、在中，若=，则B的值为....（）bA、30B、45C、D、B,sinsinsincossincos45abbbABBBBBBoQ解析：245、在ABC中，已知cosA=，cosB=,则a:b:c=_________51345cos,cos,0,0513312sin,sin513sinsin()sincoscossin354126351351365::sin:sin:sin31263::13:20:2151365ABABABCABABABabcABCQ解析：13:20:213.,2,60,oABCbaBAA在中则30o2,sin2sinsin(60)2sin13sincos2sin223tan3(0,180)30oooobaBAAAAAAAAA解析由正弦定理及知4,lg(sinsin)2lgsinlg(sinsin)ABCACBCA在中则该三角形的形状是直角三角形2222222lg(sinsin)lg(sinsin)lgsinsinsinsinACCABCABcab解析：由已知条件，故三角形为直角三角形225tantanABCaBbAABC在中，已知，是判断的形状。222222sinsincoscos4sinsin4sinsincoscossincossincossin2sin222222aBbABARABRBABARABCAABBABABABABAB解：由已知得（为外接圆半径）或即或所以三角形为等腰或直角三角形小结一、正弦定理的内容二、正弦定理的运用1、直接利用正弦定理解三角形2、正弦定理变形公式运用