高考理科数学专题复习题型选填题的解法研究

题型1选填题练熟练稳少丢分第1讲选填题的解法研究一选择题、填空题在高考中的地位选择题、填空题在当今数学高考(全国卷)中，题目数量多且占分比例高(选择12题，填空4题，共16题，共计80分，其中选择题60分，填空题20分，占全卷总分的53.3%)．二选择题、填空题难度及排序规律就一套试卷而言，选择题1～10题相对较简单，考查知识点明显，学生比较容易入手，11,12题对思维要求较高，重视对数学素养的考查，学生需要综合运用多种数学思想方法才能解决．填空题13～15题难度比较低，很常规，主要考查基础知识，解题思路清晰，16题难度相对较大，同样重视对数学素养的考查．今年的高考题设置了组合型选择题．为实现设置多选题过渡，填空题出现了一题双空，难度增加，思维量加大．三选择题、填空题特点及考查功能从解答形式上看，选择题、填空题都不要过程，形式灵活，选择题还有选项可以提供额外的信息；从考查知识点上看，选择题、填空题都能在较大的知识范围内，实现对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查；从运算因素上看，选择题、填空题都对运算要求较低，呈现多想少算的特点．四选择题、填空题解答策略选择题、填空题的结构特点决定了解答选择题、填空题的方法，除常规方法外，还有一些特殊的方法．解答选择题、填空题的基本原则是：“小题不大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两种思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选项联合考虑，或从选项出发探求是否满足题干条件，由此得到做选择题的几种常用方法：直接法、排除法、构造法、特例法、代入验证法、数形结合法等．填空题虽然没有选项提供参考，但依然可以根据其特点，考虑直接法、构造法、特例法等．五选择题、填空题答题禁忌选择题、填空题答题时，一定要注意认真审题，理解清楚题意后再作答．选择题确定选项后，其余选项也应该看一看，弄清楚它们错在哪里．不要一味图快，还是要以保证正确率为主．如果某题不太好解答，应及时调整策略，去解答下一题．切忌在某一道题上花费过多时间．这样很容易影响答题的心理状态，产生紧张、焦虑等负面情绪．另外涂答题卡时，要注意题号排列规律，不要出现答串行等低级失误．选择题要修改的话，一定要先把原有选项擦除干净，再用2B铅笔涂黑新选项．方法汇总选填通用方法一直接法直接法是指直接从题目条件出发，利用已知的条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨的推理、准确的运算、合理的验证，从而直接得出正确结论的解题方法．解答选择题、填空题时，此方法一般都会是考生最先考虑的方法，也是解题最常用的方法之一．但是此种方法并没有充分利用选择题、填空题的题型特点，因此多用于解答一些比较容易的选、填题．题型一(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A．334B．233C．324D．32思维启迪首先利用正方体的棱是3组且每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成的角相等，只需与从同一个顶点出发的3条棱所成的角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1与线AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，同理，平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的，且过棱的中点的正六边形，边长为22，所以其面积为S＝6×12×32×222＝334，故选A．答案A特教评析该题考查的是有关正方体被平面所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.题型二设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________.思维启迪本题以数列为背景，综合考查等比数列的通项公式，幂的运算性质，等比数列求和公式等多个知识点．数列是高中数学的一个重要模块，对数列的考查，在历年全国卷中都能见到．此类问题，多直接利用题目条件，结合数列的相关公式计算解决.本题中首先根据题目的两个条件，结合等比数列的通项公式，可以列出方程，解出首项及公比，进而可以将a1a2…an表示为关于n的函数，利用函数的相关知识求解其最大值.解析解法一：由题可得a1＋a1q2＝10，a1q＋a1q3＝5，两式相除，解得q＝12，a1＝8，则an＝12n－4，所以a1a2…an＝12－3×12－2×…×12n－4＝12n－7n2.由于指数函数y＝12x单调递减，因此当nn－72最小时，a1a2…an最大，即n＝3或n＝4时，a1a2…an有最大值26＝64.解法二：同解法一，解得an＝12n－4.设bn＝a1a2…an，由bn≥bn＋1，bn≥bn－1，得an＋1≤1，an≥1，解得3≤n≤4.所以当n＝3或4时，bn有最大值b3＝b4＝64.答案64特教评析本题是根据题目条件，利用数列的相关公式，直接解决数列的最值问题．解法一是从数列是特殊函数这个角度予以求解的，解法二是利用数列本身的一些特性予以求解．这两种都是直接解决数列最值问题的常用方法.『针对训练』1.(2019·河南郑州一模)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18B．20C．21D．25答案C解析由题意知该女每天所织布的尺数可构成一个等差数列{an}，且a1＝5，S30＝390，设该女最后一天织布尺数为a30，则有30×5＋a302＝390，解得a30＝21.故选C．2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________.答案x216＋y28＝1解析设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，由e＝22知ca＝22，故b2a2＝12.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，故a＝4.∴b2＝8.∴椭圆C的方程为x216＋y28＝1.二特例法特例法的原理：如果结论对一般情况成立，那么对特殊情况一定也成立．因此解选择、填空题时，可以考虑对题目条件特殊化，用特殊化后的条件解出问题的答案．这种方法主要用来解决选择和填空题中结论唯一或其值为“定值”的问题，常常取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置，特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等等)来确定其结果，从而节省推理、论证、演算的过程，加快解题速度．特例法是解决选填题的一种很好用的方法．大多数时候，都能化繁为简，快速找到问题的答案．但是，需要指出的是，特例法本身存在一定风险，即如果某题答案不唯一，那么用特例法有可能漏解．此时最好多举几个特例验证.题型一已知函数f(x)＝x＋xlnx，若k∈Z，且k(x－1)f(x)对任意的x1恒成立，则k的最大值为()A．2B．3C．4D．5思维启迪本题是以函数和导数为背景的恒成立问题，考查函数的单调性、最值与导数的关系等知识点．直接做的话，可以转化为y＝fxx－1的最小值大于k；或者y＝f(x)－k(x－1)的最小值大于0等，步骤繁琐，运算量较大；使用特例法更快捷，即原式对x1恒成立，那么对类似x＝2,3等这些特值也成立，从而可以缩小k的范围.解析解法一：(直接法)设g(x)＝x－lnx－2，可得g′(x)＝1－1x＝x－1x0，故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，而g(3)＝1－ln30，g(4)＝2－ln40，所以g(x)存在唯一一个零点x0∈(3,4)，且当x∈(1，x0)时，g(x)g(x0)＝0；当x∈(x0，＋∞)时，g(x)g(x0)＝0，由题意得x1时，xlnx＋xx－1k恒成立，设h(x)＝xlnx＋xx－1，则h′(x)＝x－lnx－2x－12＝gxx－12.所以h′(x)与g(x)同号，即x∈(1，x0)时，h′(x)0；x∈(x0，＋∞)时，h′(x)0，所以h(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(x0)＝x0lnx0＋1x0－1＝x0x0－1x0－1＝x0.故kh(x)min＝x0，又k∈Z，则k的最大值为3，故选B．解法二：(特例法)由题意可知，当x＝2时，k(x－1)f(x)恒成立，即k(2－1)f(2)，解得k2＋2ln22＋2＝4，因此k的最大整数值为3，而当k＝3时，令g(x)＝f(x)－k(x－1)＝xlnx－2x＋3，g′(x)＝lnx－1，当x∈(1，e)时，g′(x)0；当x∈(e，＋∞)时，g′(x)0，所以g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，所以g(x)min＝g(e)＝3－e0，于是g(x)0恒成立，即k＝3满足题意，故选B．答案B特教评析解法一是直接法．计算量较大，对数学能力要求较高；解法二巧妙的利用x＝2时的特殊情况，成功得到k＝3.当然，从严谨性的角度出发，还需要检验一下k＝3是否成立．就算如此，其计算量，思维量也远远小于直接法．解选择、填空题，用好特例法往往能起到事半功倍的作用.题型二(2019·河北一模)已知F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，M为△PF1F2的内心，满足S△MPF1＝S△MPF2＋λS△MF1F2，若该双曲线的离心率为3，则λ＝________(注：S△MPF1，S△MPF2，S△MF1F2分别为△MPF1，△MPF2，△MF1F2的面积).思维启迪本题以双曲线为背景，综合考查了双曲线定义，三角形内心的性质，三角形面积计算公式等多个知识点，综合性较强．本题涉及双曲线焦点，一般需要考虑双曲线定义，由于M是内心，因此涉及的三个三角形如果分别以PF1，PF2，F1F2为底，则高相等，离心率提供了双曲线a，b的关系．综合利用这些条件，可以完成本题求解．另一方面，本题属于结论为定值，且题干中未对双曲线方程及P点位置作过多限制，因此可以考虑特例法，能更高效快捷地解答此题.解析解法一：(直接法)设△PF1F2内切圆半径为r，由S△MPF1＝S△MPF2＋λS△MF1F2得：12|PF1|·r＝12|PF2|·r＋λ·12|F1F2|·r，∴|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，∴|PF1|－|PF2|＝λ|F1F2|，∵点P为双曲线右支上一点，∴2a＝λ·2c，∴λ＝ac，∵ca＝3，∴λ＝13.解法二：(特例法)设双曲线为x2－y28＝1，则F1(－3，0)，F2(3,0)，取P(3,8)，如图，则此时△PF1F2为直角三角形，由勾股定理得|PF1|＝10；所以S△PMF1＝5r，S△MPF2＝4r，S△MF1F2＝3r，易得λ＝13.答案13特教评析解法一是直接法．需要用双曲线定义得到2a＝2λc，对数学能力有一定要求；解法二巧妙的利用特殊双曲线和特殊点，能快捷的得出λ的值，思维量小于直接法．解选择、填空题，用好特例法常常能化难为易.『针对训练』1.(2019·长春一模)已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2－y2＝λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|·|MN|的值为()A．λ4B．λ2