杨辉与纵横图

杨辉与纵横图杨辉(约13世纪)，字谦光，是南宋时期的数学家、数学教育家，他生活在钱塘(现杭州)一带，他的著作有《详解九章算法》。纵横图最早起源于中国．纵横图在国外译为奇平方(MagicSquares)或幻方(或魔方阵)，日本人称为方阵，杨辉称为纵横图．一般是指将连续的若干个自然数按一定规则进行“安排”，形成满足某种要求的图形．将n²(n3)个连续的自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使每行、每列以及两对角线上的n个数字之和均相等，这样的正方形图叫做n阶纵横图，也叫做n阶幻方．世界上最古老的幻方是我国著名的“九宫图”．它是由1到9这九个连续的自然数排列成的每行、每列以及两对角线上的三个数字之和均等于15的三阶幻方．九宫图是我国有着悠久历史的一种数字组合游戏，据传说，伏羲氏得了天下，黄河龙马驮了一张图，作为礼物献给他，称为“河图”．公元前2200年左右大禹治水时、洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”．“洛书”所画的图中共有黑、白小圆圈45个．把这些连在一起的小圆圈用数目表示出来，得到l，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数．人们把由九个数组成3行3列的数字方阵，如用现代的数字来书写，这个方阵表示的的确就是一个九宫图，称为3阶幻方(如图13)．《周易·系辞传》说：“河出图，洛出书，圣人则之．”这是说黄河出现河图，洛水出现洛书，圣人把它们当作天赐作为治理天下的准则，关于河图，洛书这些简单的数字排列，最早可考查的资料是《大戴记》(公元80年)，历代学者在著书中都把这些图形描写成神秘哲学的一个重要部分．反映出中国文化的特色，同时对后世哲学、占卜、音乐和数学等都有深远影响．美妙的九宫图作为数学游戏，引起了一代又一代人的兴趣．在参与游戏的过程中，人们通过认真的思考，不断地提出巧妙的对策与方法，同时在九宫图的基础上，逐渐地刨造出一批类似的、但更为复杂的数字组合游戏．在早期的幻方爱好者中，我国13世纪的宋朝数学家杨辉成绩最大，他利用数学方法寻找规律，巧妙地构造出许多别具风格的幻方来，杨辉构造的九宫图，方法简单又巧妙．例如，他将1到9这九个数字斜着排列（如图14），然后将上、下两个数字对调，左右两个数字对调，最后将对调后的四个数字填人相邻的空格中，就得到一个九宫图．杨辉构造的四阶幻方，方法也十分简便，他先将1到16这16个连续的自然数按顺序排列在四行四列上（如图15），然后把两条对角线上关于正方形中心对称的四对数分别对调，这样就得到一个行、列以及对角线上数字之和都是34的一个四阶幻方．(a)依次排四行(b)外四角对换(c)内四角对换杨辉在构造了三、四阶幻方的基础上，继续对幻方进行系统研究，陆续地构造出五阶、六阶、七阶、八阶、九阶、十阶幻方．后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：N。=-n(n²+1)．其中n为幻方的阶数，所求的数为Nｎ。此外，他还突破了幻方为正方形的限制，将它扩大到不同的形状，杨辉对幻方的研究和推广，大大丰富了这种数字游戏的内容，直到今天，在国际上一些科学家利用幻方这种变化无穷的特点，把它作为智力测验的工具和智力玩具．提高了它在训练人们机智方面的层次．对幻方的深入研究也为人们带来了新的启示，将幻方中的自然数换成一般的物体，也对它们按一定规则进行‘‘安排”，并进一步讨论这种“安排”的存在性问题、计数问题、构造问题和优化问题，就构成了今天的数学分支——组合数学研究的主要内容．古老的幻方作为历史上最早的组合结构，开创了组合数学的先河，显示了中华民族的聪明才智，近代它还被现在计算机程序设计、人工智能等许多方面都有着广泛的应用。幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民在2500年前就已经知道了幻方的排列规律，而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方，我国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家，公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3-10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘奇算法》一书中，我国的洛书图是现代组合数学这一分支的最古老的例子，比希腊类似的幻方要早期两个世纪，在欧洲，直到1574年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的4阶幻方。