FOSM和FORM的基本原理

《结构可靠度》FOSM和FORM的基本原理—1—FOSM和FORM的基本原理1引言当前，国内很多学者和学生对于结构可靠度的两种基本方法—一次二阶矩方法（FOSM）和一次可靠度方法（FORM）有着很多模糊的认识；对于FOSM和FORM的发展历史，以及它们之间的区别与联系等，也存在很多疑惑。本文将介绍FOSM和FORM的基本原理，以澄清这些困惑。事实上，FOSM是FORM的早期发展形式，在结构可靠度的发展过程中起过重要的作用。我国的《建筑结构设计统一标准》、《工程结构可靠度设计统一标准》和《建筑结构可靠度设计统一标准》等仍然是以一次二阶矩方法为基础的。然而，尽管FOSM有着概念清楚、运算简单等优点，但它不能考虑基本随机变量的全部概率信息，当极限状态方程高度非线性时，算法不能保证收敛，因此经过各国学者的努力，FOSM逐渐被可以克服这些缺点的FORM所取代。目前，FORM的基本理论已经基本成熟，并成为ISO2394“结构可靠度总原则”和JCSS模式规范所推荐采用的方法。本文将首先介绍结构可靠度的基本概念，然后介绍一次二阶矩方法（FOSM）的二种基本方法：均值一次二阶矩法（MVFOSM）和高级一次二阶矩法（AFOSM），在我国，通常称前者为“中心点法”，称后者为“验算点法”或“设计点法”。接下来本文将重点介绍一次可靠度方法（FORM）的基本原理，我们将首先探讨标准正态空间的基本性质，然后给出四种情况下的概率变换，由于设计点的搜索是FORM的核心问题，为此本文将全面介绍FORM的三种经典算法：HLRF算法、修订的HLRF算法（mHLFR算法）和改进的HLRF算法（iHLFR算法）。2结构可靠度的基本概念本文只讨论结构单元（StructuralComponent）的可靠度问题。设影响结构单元的n维基本随机向量为12[,,,]TnXXXX，在基本随机向量X的实现空间（OutcomeSpace）x内，结构单元的状态由极限状态函数()ggx决定，极限状态函数()gx将基本随机向量实现空间x划分为：()0gx：失效域(1a)()0gx：失效面（极限状态面）(1b)()0gx：安全域(1c)《结构可靠度》讲座01FOSM和FORM的基本原理吕大刚HIT2004-10—2—结构单元的失效概率fp由下面的n重积分计算：()0(()0)()()fgpPgfdfdXXxxxxxx(2)式中，11()(,,)nXXnffxxXx代表基本随机变量的联合概率密度函数（JointPDF），代表失效域，其定义为：{|()0}gxx。图1给出了在基本随机变量实现空间x内的极限状态曲面()0gx和联合概率密度函数()fXx的等高线，从图中可以看出：极限状态曲面()0gx将实现空间x划分为失效域和安全域，失效概率fp等于失效域内()fXx的等高线所围的面积（图中阴影部分）。对于小概率结构失效事件，失效概率fp的使用有时不是很方便，为此引入可靠指标的概念，由如下一一映射变换确定：1(1)fp(3)式中，1()为标准正态累积分布函数（CDF）的反函数。可靠指标提供了结构可靠度的另外一种测度，它比失效概率fp使用起来更方便一些。对于大多数结构可靠度问题来说，可靠指标的范围一般从1变化到5，而失效概率fp的变化范围则一般为10-1到10-7。后面将会看到，当基本随机变量的统计信息不完全时，历史上曾经提出过各种可图1单元可靠度示意图极限状态曲面：1x2x()0gxfp()0gx失效域：()0gx安全域：等高线()fx《结构可靠度》FOSM和FORM的基本原理—3—靠指标的定义作为结构可靠性的测度。失效概率fp（即式（2）的积分）的计算主要有以下三个问题：（1）联合概率分布函数()fXx可能会得不到，因为实践中我们有时会不能够完全掌握基本随机变量的统计信息。（2）极限状态函数()gx自身可能会由于在对结构的物理性质、力学性质等进行建模时存在的缺陷而存在不确定性。（3）即使我们精确知道()fXx和()gx，但是对于式（2）中的积分直接进行计算本身就是一个十分困难的事情，特别是当基本随机向量的维数(3)nn较大，或者极限状态函数()gx为x的高度非线性函数时。问题（1）和（2）分别为统计不确定性和模型不确定性下的结构可靠度问题，而问题（3）则属于结构可靠度的计算问题。对于考虑统计不确定性和模型不确定性的结构可靠度问题，我们以后将另行专题介绍，本文只考虑问题（3），即()fXx和()gx都精确知道前提下的结构可靠度计算问题。失效概率fp的计算主要有三种方法：解析法、模拟法和混合法。解析法包括精确解析法和近似解析法，精确解析法中昀有代表性的方法是早期可靠度理论中的应力—强度干涉法，这种方法只适合当极限状态函数为二个随机变量的显式函数，且这二个随机变量服从某些特殊的分布时（如正态分布、对数正态分布或指数分布）。在过去的几十年里，各国的学者经过长时间的努力，发展了各种有效的近似解析法，其中昀典型的有：一次二阶矩方法（FOSM）、一次可靠度方法（FORM）和二次可靠度方法（SORM）。本文将主要介绍FOSM和FORM的发展历史及其基本原理，对于SORM，以后将另行专题介绍。当解析法不能奏效时，模拟法可以有效地解决可靠度的计算问题，在结构可靠度的发展过程中，提出了各种数值模拟方法，代表性的方法有：蒙特卡洛模拟法（MonteCarloSimulation,MCS），拉丁超立方体抽样法（LatinHypercubeSampling,LHS），重要性抽样法（ImportanceSampling,IS），方向模拟法（DirectionalSimulation,DS），响应面法（ResponseSurfaceMethod,RSM）等。混合法则是一种将解析法和模拟法结合起来的一种方法，代表性的方法有：使用设计点的重要性抽样法（ImportanceSamplingUsingDesignPoint,ISUDP），方向重要性抽样法（DirectionalImportanceSampling,DIS），正交平面重要性抽样法（OrthogonalPlaneImportanceSampling,OPIS）等。对于模拟法和混合法，我们以后将另行专题介绍。《结构可靠度》讲座01FOSM和FORM的基本原理吕大刚HIT2004-10—4—3一次二阶矩方法（FOSM）的基本原理3.1均值一次二阶矩法（MeanValueFirstOrderSecondMoment,MVFOSM）3.1.1Cornell可靠指标1969年，Cornell在历史上第一个提出了可靠指标的概念[1]。注意到失效概率可以表示为：(()0)(0)()gfgUgpPgFFx(4)式中，()/ggUg为均值为0、标准差为1的标准随机变量。为此，Cornell提出将比值/gg作为可靠性的测度，称其为可靠指标，即gCg(5)3.1.2线性极限状态函数的情况假设我们只有基本随机向量X的前二阶矩信息，即平均值向量M和协方差矩阵Σ：21112121122212122221122nnnnnnnnnnMΣ(6)首先考虑当极限状态函数为线性的情况：0()Tgaxax(7)式中，0a和12[,,,]Tnaaaa为确定性常数。根据随机变量的均值和协方差的定义与性质，容易得出：0TgCTgaaMaΣa(8)当随机向量X是联合高斯分布时，根据高斯分布的基本性质（高斯随机变量的线性组合仍为高斯随机变量）可知：线性极限状态函数g仍服从高斯分布，此时，随机变量g的分布完全取决于其平均值g和标准差g。根据式（4）可知：《结构可靠度》FOSM和FORM的基本原理—5—(0)()()gfgUcgpFF(9)注意：只有当随机向量X是联合高斯分布，且极限状态函数为线性时，式（9）才严格成立，即失效概率fp和可靠指标为一一对应关系，在其它情况下不能得出()fp的结论！另外，还要注意式（3）和式（9）的区别。3.1.3非线性极限状态函数的情况—均值一次二阶矩可靠指标对于非线性极限状态函数，均值一次二阶矩方法(MVFOSM)的基本思想是将极限状态函数()gx在基本随机向量X的均值点M处近似展开为一阶泰勒级数形式：()()()TgggΜyΜyΜ(10)式中，12[/,/,,/]Tnggxgxgx为梯度列向量，gM表示其数值在均值点M处计算。于是可得随机变量g的均值和方差分别为：()ggM(11a)2TgggMM(11b)当Cornell可靠指标C中的g和g分别由式(11a)和式(11b)计算时，该指标也可称为“均值一次二阶矩”（Mean-Value,FirstOrder,SecondMoment,MVFOSM）可靠指标：()MVFOSMTgggMMM(12)注意：式(8)实际上是式(12)的特殊形式。3.1.4均值一次二阶矩方法的主要问题均值一次二阶矩方法(MVFOSM)的主要问题是：缺乏不变性，即当物理意义相同但是极限状态函数取不同表达式时，可靠指标的数值应该是相同的，但是采用均值一次二阶矩方法计算的可靠指标却会相差很大。1973年，Ditlevsen首先认识到均值一次二阶矩方法的缺乏不变性问题（Lack-of-InvariantProblem）[2]。1974年，该问题被Hasofer和Lind在ASCEJournalofEngineeringMechanics发表的一篇经典论文所解决[3]，他们所提出的方法被称为Hasofer-Lind方法，该方法被称为高级一次二阶矩法（AdvancedFirstOrderSecondMoment,AFOSM）。《结构可靠度》讲座01FOSM和FORM的基本原理吕大刚HIT2004-10—6—3.2高级一次二阶矩法（AdvancedFirstOrderSecondMoment,AFOSM）Hasofer和Lind（1974）指出：缺乏不变性问题主要是由于将均值点作为非线性极限状态方程的线性化点而产生的，该问题可以通过将非线性极限状态函数在极限状态曲面的某一点处进行一阶泰勒级数展开来克服，该点称为“设计点(DesignPoint)”或“验算点(CheckingPoint)”。另外，为了达到不变性，还需要将相关的随机向量变换为不相关的标准随机向量。为此，我们首先介绍随机向量变换的基本原理。3.2.1标准随机向量变换我们称具有零平均值向量和单位协方差矩阵的随机向量Y为标准随机向量，即[]EYMy0(13a)[]TEYΣyyI(13b)式中，0为n阶零向量，I为单位矩阵。显然，随机向量Y的各元素互不相关(Un-correlated)。我们的目标是使相关的随机向量X变换为不相关的标准随机向量Y，即找到变换:Txy，使得()Tyx(14)称从x空间向y空间的变换T为正概率变换，而称从y空间向x空间的变换为逆概率变换，记为：1:Tyx，即有1()Txy(15)逆概率变换通常具有如下形式：xxAy(16)式中，A为未知的变换矩阵。为了使式(13b)成立，变换矩阵A需要满足下面的条件：[()()][]TTTTEEXXXΣxMxMAyyAAA(17)由于协方差矩阵XΣ的对称性和正定性的特点，式(17)总可以成立，一旦确定了变换矩阵A，即可由式(16)得到正概率变换：1()xyAx(18)因此，问题的关键是：如何找到变换矩阵A？既然协方差矩阵XΣ具有对称性和正定性的特点，我们可以将它分解为如下的形式：XΣDRD(19)《结构可靠度》FOSM和FORM的基本原理—7—式中，[]idiagD是由X的标准差组成的对角矩阵，[]ijR是由X的互相关系数ij组成的相关系数矩阵。我们将