大学课件-概率论与数理统计-条件概率与乘法公式

一、条件概率条件概率也是概率条件概率满足概率性质说明：对事件A、B，若P(B)0，则称为事件A在事件B发生下的条件概率。条件概率与乘法公式)()()(BPABPBAP=思考：利用条件概率的定义，推出P(A︱B)与P(A)的大小关系。条件概率的性质1、非负性2、规范性3、可加性对任一事件B，必有P(B︱A)≥01)()(1)(==Ω=⊂AAPAPABPBA特别地，则若∑∑∞=∞==1121)()(,,,kkkknABPABPBBB则件，为一列两两互不相容事，若LL)(1)(ABPABP−=特别常用的是：计算条件概率例１：一个家庭中有二个小孩，已知其中有一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率为多大？（假定一个小孩是男还是女是等可能的。）解：样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}A＝{已知有一个是女孩}＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}B={另一个也是女孩}＝{(女，女)}则314/34/1)()()(===APABPABP例.一个家庭有两个孩子。(1)已知至少有一个男孩，求两个都是男孩的概率？(2)已知年纪小的是男孩，求两个都是男孩的概率？解:（1）记{B=至少有一个男孩}{A=两个都是男孩}这时{GG,BB,BG,GB}Ω=，每一种等可能发生，即1/4。而{,,}BGBBGBB={}ABB=二、乘法公式定理1：()()()ABPAPABPAP=，则如0)(类似地：()()()BAPBPABPBP=，则如0)(一般地：())()()()(0)(1211231212112121−−=nnnnnAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAAPAAAnLLLLL则，且，，个事件对任意证明；()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnAAAPAAAPAAAPAAPAAAPAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAAAALLLLLLLLLLQ21121212132112111212131211212111212110=⋅⋅⋅⋅=≥≥≥∴⊃⊃⊃−−−−由条件概率的定义，有例２：一批产品的次品率为４％，正品中一等品率为75％，现从这批产品中任意取一件，试求恰好取到一等品的概率。解:72.075.096.0)()()()(75.0)(,96.0)(,04.0)(}{}{}{=×====∴⊂======BAPBPBAPAPBAABABAPBPBPBBA故则取到正品取到次品，取到一等品Q例5一批零件共100个，次品率为１０％。每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解：{}9890)(999)(10010)()(.3,2,1213121321=====AAAPAAPAPAAAPiiAi显然则所求概率为，次取出的零件是次品第设()()()()0084.0989099910010213121321≈××==AAAPAAPAPAAAP例6一个人依次进行四次考试，他第一次考试及格的概率为p(0p1),又若他前一次考试及格，则本次考试的及格率为p，若前一次考试不及格，则本次考试的及格率为p/2，如果他至少要有三次考试及格，才能认为考试合格，问{他能考试合格}的概率有多大?{}()}{3,2,1他考试能及格＝次考试及格第设BiiAi==321432143214321AAAAAAAAAAAAAAAB+++=则()()()()()321432143214321AAAPAAAAPAAAAPAAAAPBP+++=()()()()()()()()()()()()()()()213121321421312132142131213214213121AAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAP+++=()()()3352121212)1(ppppppppppppppppp−=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅⋅−=解：