人教版九年级数学下册解直角三角形

第二十八章锐角三角函数初中数学（人教版）九年级下册知识点一解直角三角形1.解直角三角形的定义与边角关系2.解直角三角形的类型在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.已知条件解法两直角边由tanA= ,求∠A;∠B=90°-∠A;c= 斜边、一直角边(如c,a)由sinA= ,求∠A;∠B=90°-∠A;b= 一锐角与邻边(如∠A,b)∠B=90°-∠A;a=b·tanA;c= 一锐角与对边(如∠A,a)∠B=90°-∠A;b= ;c= 斜边与一锐角(如c,∠A)∠B=90°-∠A;a=c·sinA;b=c·cosAab22abac22c-abAcosaAtanaAsin3.解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中”.其意指:在已知或求解中,有斜边时,可用正弦或余弦,无斜边时,就用正切,既可用乘法又可用除法时,用乘法不用除法,既可用原始数据又可用中间数据时,用原始数据,忌用中间数据.例1(2016内蒙古包头中考)如图28-2-1-1,已知四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A=60°,求BC的长;(2)若sinA= ,求AD的长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) 图28-2-1-145解析(1)∵∠A=60°,∠ABE=90°,AB=6,tanA= ,∴∠E=30°,BE=tan60°·6=6 ,又∵∠CDE=90°,CD=4,sinE= ,∴CE= =8,∴BC=BE-CE=6 -8.(2)∵∠ABE=90°,∴sinA= = ,∴可设BE=4x(x0),则AE=5x,∴AB=3x,∴3x=6,得x=2,∴BE=8,AE=10,∴tanE= = = = ,∴DE= ,∴AD=AE-DE=10- = ,即AD的长是 .BEAB3CDCE4123BEAE45ABBE68CDDE4DE163163143143知识点二解直角三角形在几何图形中的应用 一般三角形问题通过作高把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形求解平行四边形与梯形问题通过作高把平行四边形或梯形转化为含有直角三角形的图形求解矩形、菱形与正方形问题通过连接对角线把矩形、菱形或正方形转化为含有直角三角形的图形求解例2(2019安徽合肥包河期末)如图28-2-1-2,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB= ,BD=3.(1)求sin∠ADB的值;(2)若DC=3,求BC的长. 图28-2-1-22解析(1)如图28-2-1-3,过点B作BE⊥AD于点E,在Rt△ABE中,∵∠A=45°,AB= ,∴AE=BE=1.在Rt△BDE中,sin∠ADB= = .(2)如图28-2-1-3,过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFD=∠BED=∠ADC=90°,∴四边形BEDF是矩形,∴DF=BE=1,BF=DE= = =2 ,∵DC=3,∴FC=2,则BC= = =2 . 2BEBD1322-BDBE223-1222BFFC22(22)23图28-2-1-3例1(2018四川自贡中考)如图28-2-1-4,在△ABC中,BC=12,tanA= ,∠B=30°.求AC和AB的长. 图28-2-1-434题型一解一般三角形解析如图28-2-1-5所示,过点C作CD⊥AB,交AB于点D, 图28-2-1-5在Rt△BCD中,∵∠B=30°,BC=12,∴sinB= = =sin30°= ,cosB= = =cos30°= ,∴CD=6,BD=6 .在Rt△ACD中,∵tanA= ,CD=6,∴tanA= = = ,∴AD=8,∴AC= = =10,CDBC12CD12BDBC12BD32334CDAD6AD3422ADCD2286AB=AD+BD=8+6 .综上所述,AC的长为10,AB的长为8+6 .33方法归纳对于非直角三角形的问题,通常通过构造直角三角形来解决,但在作高时,通常要把题目中已知的特殊角(30°角,45°角或60°角)放在直角三角形中,利用特殊角的三角函数值求解.例2如图28-2-1-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在边BC上,AD=BD=5,sin∠ADC= .(1)求AB的长;(2)求cos∠BAD的值. 图28-2-1-645题型二解“双直角三角形”解析(1)在Rt△ADC中,∵∠C=90°,sin∠ADC= = ,AD=5,∴AC=4.由勾股定理得CD= =3,∴BC=CD+DB=3+5=8,在Rt△ABC中,∠C=90°,由勾股定理得AB= = =4 .(2)∵AD=BD,∴∠BAD=∠ABD.∴cos∠BAD=cos∠ABD= = = .ACAD4522-ADAC22ACBC22485BCAB845255知识点一解直角三角形1.(2019江苏淮安模拟)在△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA= ,则边AC的长是 ()A.2 B.6C. D.2 2358313答案A在△ABC中,∵∠C=90°,BC=4,sinA= ,∴AB= =6,根据勾股定理,得AC= = =2 .故选A.23sinBCA22-ABBC2052.(2019四川自贡模拟)在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=10,sinA= ,则斜边上的高等于 ()A.5B.4.8C.4.6D.435答案B如图所示,作CD⊥AB,交AB于点D,CD即为斜边上的高,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10,sinA= ,∴sinA= = = ,∴BC=6,根据勾股定理得AC= =8,∵S△ABC= AC·BC= CD·AB,∴CD= = =4.8.故选B. 35BCAB10BC3522-ABBC1212ACBCAB68103.(2017山东济南天桥一模)如图28-2-1-1,△ABC中,∠ACB=90°,若CD⊥AB于D,且BD=4,AD=9,则tanA=. 图28-2-1-1答案 23解析∵∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠A=90°,∴∠BCD=∠A,又∵∠BDC=∠CDA=90°,∴△BDC∽△CDA,∴ = ,∴CD2=BD·AD,∴CD=6,∴tanA= = = .BDCDCDDACDAD69234.(2019陕西榆林期末)如图28-2-1-2,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的中线,且AC=4,AD=4 .求∠ADB的度数. 图28-2-1-22解析在Rt△ACD中,∵∠C=90°,AC=4,AD=4 ,∴sin∠ADC= = = ,又易知∠ADC为锐角,∴∠ADC=45°,∴∠ADB=180°-45°=135°.2ACAD442225.(2018黑龙江大庆龙凤月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形.(1)已知a=5,∠B=60°;(2)已知a=5 ,b=5 .26解析(1)∵∠C=90°,∠B=60°,∴∠A=30°,∵cosB=cos60°= = ,a=5,∴c=10,∴b= = =5 .(2)由∠C=90°,a=5 ,b=5 ,可得c= =10 ,∵tanA= = = ,∠A为锐角,∴∠A=30°,∴∠B=60°.ac1222-ca2210-532622ab2ab5256336.(2019山东临沂沂南一模)如图28-2-1-3,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=8,tan∠ACB= ,则BD的长是. 图28-2-1-323知识点二解直角三角形在几何图形中的应用答案20解析∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,AO=CO,∵AB⊥AC,AB=8,tan∠ACB= = ,∴AC= AB=12,∴OA=6,∴BO= =10,∴BD=2BO=20.23ABAC3222OAAB7.(2017江苏扬州江都一模)如图28-2-1-4,在正方形ABCD中,点E为AD的中点,连接EC,过点E作EF⊥EC,交AB于点F,则tan∠ECF=. 图28-2-1-4答案 12解析∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∠A=∠D=90°,∵AE=ED,∴CD=AD=2AE,∵∠FEC=90°,∴∠AEF+∠DEC=90°,∵∠DEC+∠DCE=90°,∴∠AEF=∠DCE,∵∠A=∠D,∴△AEF∽△DCE,∴ = = ,∴tan∠ECF= = .AEDCEFEC12EFEC128.(2017北京昌平二模)如图28-2-1-5,在平行四边形ABCD中,点E为BC的中点,AE与对角线BD交于点F.(1)求证:DF=2BF;(2)当∠AFB=90°且tan∠ABD= 时,若CD= ,求AD的长. 图28-2-1-5125解析(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∵点E为BC的中点,∴BE= BC= AD.∵AD∥BC,∴△BEF∽△DAF,∴ = = ,∴DF=2BF.(2)∵CD= ,∴AB=CD= .∵在Rt△ABF中,∠AFB=90°,∴tan∠ABD= = ,∴设AF=x(x0),则BF=2x,∴AB= = x= ,1212BEADBFDF1255AFBF1222AFBF55∴x=1,∴AF=1,BF=2.∵DF=2BF,∴DF=4,∴AD= = .22AFDF179.(2018北京东城期末)如图28-2-1-6,在△ABC中,∠B=135°,AB=2 ,BC=1.(1)求△ABC的面积;(2)求AC的长. 图28-2-1-62解析(1)过点A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D,∵∠ABC=135°,∴∠ABD=45°.在Rt△ABD中,∵AB=2 ,∠ABD=45°,∴AD=AB·sin45°=2,∴△ABC的面积= BC·AD=1.(2)∵∠ABD=45°,∠D=90°,∴△ABD是等腰直角三角形.∵AD=2,∴DB=2,∴DC=DB+BC=2+1=3.在Rt△ACD中,AC= = .21222ADDC131.(2018山东潍坊安丘模拟)如图,在平面直角坐标系中,AB垂直于y轴,垂足为A,CD垂直于y轴,垂足为D,且点D的坐标为(0,-1),sinB= ,则点C的坐标为 () A.(-1,-3)B.(-3,-1)C.(-2 ,-1)D.(-1,-2 )1322答案C∵AB⊥y轴,CD⊥y轴,∴AB∥CD,∴∠B=∠C.∵点D的坐标为(0,-1),∴OD=1.∵sinB= ,∴sinC= = ,∴OC=3,∴CD= =2 ,∴点C的坐标为(-2 ,-1).故选C.1313ODOC22-OCOD222.(2018重庆渝中月考)如图,已知D是AB上一点,CD⊥AC于C,AD∶DB=2∶3,sin∠DCB= ,AC=10,则BC的长为 () A.15B.20C.5 D.253541答案D如图,作DE∥AC交BC于E.∵DE∥AC,∴△BED∽△BCA,∠CDE=∠ACD=90°,∴ = = = ,∵AC=10,∴DE=6,∵sin∠DCB= = ,∴EC=10.∵ = ,∴BE=15,∴BC=EC+BE=10+15=25.故选D. DEACBEBCBDBA35DEEC3510BEBE353.(2019浙江杭州拱墅模拟)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是BC上一点,若tan∠DAB= ,则AD的长为 () A.2 B. C.2 D.81521313答案C如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,∴BC=6,∠B=45°,∴AB=6 ,∵DE⊥AB,∴∠EDB=∠B=45°,∴DE=BE.∵tan∠DAB= = ,∴AE=5DE.∴AB=AE+BE=5DE+DE=6DE=6 ,∴DE= ,∴AE=5 ,∴AD= =2 .故选C. 215DEAE22222AEDE134.(2019四川成都金牛模拟)如图,矩形ABCD中,AB=5