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第1页，共14页2020年甘肃省高考数学二诊试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=（1+i）2，则|z|=（）A.0B.1C.2D.32.集合M={x|x＞0，x∈R}，N={x||x-1|⩽2，x∈Z}，则M∩N=（）A.{x|0＜x⩽2，x∈R}B.{x|0＜x⩽2，x∈Z}C.{-1，-2，1，2}D.{1，2，3}3.已知向量，向量，若，则m=（）A.B.C.D.4.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a3=9，S5=30，则a5=（）A.12B.15C.18D.215.若实数x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（）A.2B.4C.16D.206.南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示．现用一与下底面平行且与下底面距离为h（0＜h＜2）的平面去截该几何体，则截面面积是（）A.4πB.πh2C.π（2-h2）D.π（4-h2）7.已知，则=（）A.B.C.D.8.若a＞b，ab≠0则下列不等式恒成立的是（）A.a2＞b2B.lg（a-b）＞0C.D.2a＞2b9.设直线x-y+a=0与圆x2+y2+2x-4y+2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则a=（）A.-1或1B.1或5C.-1或3D.3或510.若点（m，n）在函数的图象上，则的最小值是（）A.B.C.D.11.根据如下样本数据：x12345ya-1-10.5b+12.5得到的回归方程为．样本点的中心为（3，0.1），当x增加1个单位，则y近似（）A.增加0.8个单位B.减少0.8个单位C.增加2.3个单位D.减少2.3个单位第2页，共14页12.函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称，如图所示，则方程（f（x））2-5f（x）+6=0的所有根之和为（）A.8B.6C.4D.2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数,则=______．14.数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2an，则S2019=______．15.直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ACB=90°，CA=CB=CC′=1，则直线B′C与面AB′C′所成角的正切值为______．16.抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x+4y+25=0上存在点M，使得∠AMB=90°，则实数p的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在三个角互不相等的锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=2acosA．（Ⅰ）求角A范围；（Ⅱ）求函数的值域．18.某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果．苹果单果直径不同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50，95]内（单位：mm），统计的茎叶图如图所示：（Ⅰ）按分层抽样的方法从单果直径落在[80，85），[85，90）的苹果中随机抽取6个，再从这6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在[85，90）内的概率；（Ⅱ）以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率．已知该精准扶贫户有20000个约5000千克苹果待出售，某电商提出两种收购方案：方案A：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在[50，65）内按35元/箱收购，在[65，90）内按50元/箱收购，在[90，95]内按35元/箱收购．包装箱与分拣装箱工费为5元/箱．请你通过计算为该精准扶贫户推荐收益最好的方案．第3页，共14页19.等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D为AB的中点，DE垂直AB交AC于E，如图①．将△ABC沿DE折起，使A到达P的位置，且使平面PDE⊥平面DBCE，连接PC，PB，如图②．（Ⅰ）若F为PB的中点，求证：DF⊥PC；（Ⅱ）当三棱锥P-DBC的体积为时，求点B到面PEC的距离．20.椭圆经过点，左、右焦点分别是F1，F2，P点在椭圆上，且满足∠F1PF2=90°的P点只有两个．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F2且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆C于A，B两点，在x轴上是否存在一点N（n，0），使得∠ANB的角平分线是x轴？若存在求出n，若不存在，说明理由．第4页，共14页21.函数f（x）=2x2-ax+1+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若a=5，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若3＜a⩽4，证明：f（x）在x∈[1，e]有唯一零点．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若M（2，1）是AB的中点，求直线l的斜率．23.设函数f（x）=|a-3x|（a∈R）．（Ⅰ）若不等式f（x）＜b的解集是{x|1＜x＜3}，求a，b的值；（Ⅱ）设ϵ＞0，，，求证：|x+2y-（a+2b）|＜ϵ．第5页，共14页--------答案与解析--------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．由复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=（1+i）2=2i，∴|z|=2．故选：C．2.答案：D解析：解：解绝对值不等式|x-1|⩽2得：-1≤x≤3，又x∈Z，所以N=，又M={x|x＞0，x∈R}，所以M∩N=，故选：D．由绝对值不等式的解法及集合交集的运算得：N=，又M={x|x＞0，x∈R}，所以M∩N=，得解．本题考查了绝对值不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．3.答案：B解析：【分析】本题考查了向量的平行的坐标表示，属于基础题．根据向量的平行即可求出．【解答】解：向量，向量，若，则1×+m=0，解得m=-，故选B．4.答案：A解析：解：由题意，a2+a3=9，S5=30，即，解得，所以a5=0+3×4=12．故选：A．将a2+a3=9，S5=30，转化为a1和d的二元一次方程组，解方程组得到a1和d，求出a5即可．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．5.答案：C第6页，共14页解析：解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△FGH及其内部，其中F（7，9），G（1，3），H（3，1）设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点F时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（7，9）=7+9=16．故选：C．作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△FGH及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，可得当x=7，y=9时，z取得最大值16．本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．6.答案：D解析：解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则=，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π-πh2=π（4-h2）；故选：D．由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面的性质以及相关的数据求面积．7.答案：C解析：解：已知，则：2sinα•cosα+sinα=0，所以：，所以：，故：=．故选：C．直接利用三角函数关系式的变换与和角公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：D解析：解：∵a＞b，∴a-b＞0．在A中：a2-b2=（a-b）（a+b）中，a+b＜0时不成立；在B中：a-b∈（0，1）时不成立；在C中：a＞0，b＜0时不成立；第7页，共14页在D中：根据指数函数y=2x为递增函数可得恒成立．故选：D．a+b＜0时，A不成立；a-b∈（0，1）时，B不成立；a＞0，b＜0时，C不成立；根据指数函数y=2x为递增函数可得D恒成立．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．9.答案：B解析：解：根据题意，圆x2+y2+2x-4y+2=0，即（x+1）2+（y-2）2=3，圆心C（-1，2），半径r=，若|AB|=2，则圆心到直线x-y+a=0的距离d==，又由C（-1，2），则有d==，解可得a=5或1；故选：B．根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线x-y+a=0的距离d，又由点到直线的距离公式可得d==，解可得a的值，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．10.答案：C解析：解：∵点（m，n）在函数的图象上，∴n=，则=，令g（m）=，（m＞0），则g′（m）=m2-2，可得g（m）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴g（m）的最小值是g（）=，故选：C．易得n=，则=，令g（m）=，（m＞0）利用导数求解．本题考查了导数的应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：由题意知，=×（1+2+3+4+5）=3，=×[（a-1）+（-1）+0.5+（b+1）+2.5]==0.1，…①又回归直线方程过样本中心点（3，0.1），得3b+a=0.1；…②由①②联立，解得a=-2.3，b=0.8，所以回归直线方程为=0.8x-2.3；所以当x增加1个单位时，y近似增加0.8个单位．第8页，共14页故选：A．由题意知、的值，代入回归直线方程中求出b和a的值，再判断正确的选项是什么．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．12.答案：A解析：解：由方程（f（x））2-5f（x）+6=0解得f（x）=2或f（x）=3，设f（x）=2两根为x1，x2，则x1+x2=4，同理可知f（x）=3的两根x3+x4=4，所有根之和为8，故选：A．先解出方程（f（x））2-5f（x）+6=0的根，然后根据图象的对称性求出所有根之和．本题考查函数与方程的综合问题，利用好对称性是解题的关键，属于中档题目．13.答案：-2解析：【分析】本题考查分段函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．求出f（）=log2=-2，从而=f（-2），由此能求出结果【解答】解：∵函数∴f（）=log2=-2，=f（-2）=2-22=-2．故答案为：-2．14.答案：22019-1解析：解：由题意，数列{an}满足a1=1，an+1=2an，即=2，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以S2019==22019-1．故填：22019-1．根据题意，数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，代入等比数列的前n项和公式即可．本题考查了等比数列的定义，等比数列的前n项和公式，属于基础题．15.答案：解析：解：过C作AC′的垂线，垂足为D，连接B′D．∵CC′⊥平面A′B′C′，B′C′⊂平面A′B′C′，∴CC′⊥B′C′，又B′C′⊥BC，CC′∩A′C′=C′，∴B′C′⊥平面A′C′CA，∴B′C′⊥CD，又CD⊥AC′，AC′∩B′C′=C′，第9页，共14页∴CD⊥平面AB′C′，∴∠CB′D为直线B′C与面AB′C′所成角．∵AC=CC′=1，∴D为AC′的中点，且CD=C′D=，又B′C′=1，∴B′D==．∴tan∠CB′D==．故答案为：．过C作AC′的垂线CD，证明CD⊥平面AB′C′，在Rt△B′CD中计算tan∠CB′D．本题考查了线面垂直的证明，线面角的计算，属于中档题．16.答案：p≥10解析：解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为A（，0），其准线方程为x=-，可得