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零的故事谈到数学，大家一定会想到数字。试想，要是不会数「数」与加减法，我们甚至不能进行日常采买。因此，因此我们在学校要学算术；不懂算术的人，就像不会读写一样是个文盲。这也就是为什么一般人心目中的刻板印象，都认为数学就是算术，在研究数字。查尔斯．席夫在《零的故事》一书中提到：「在古文明时期，光是会数数就是一项了不起的本事。在埃及的死亡之书中记载，运送亡魂到阴间的摆渡人阿圭恩(Aqen)拒绝让任何不会数自己指头的人上船。亡魂必须要能一面背诵计数的韵诗，一面数他的指头摆渡人才会放行。」没有数字怎么算？在文字产生前数目都是以实物来记录的，如小石子、树枝、竹片或贝壳等等。斯里兰卡的Vedda族人，要计算椰子的数目，他会收集一堆树枝，每一根树枝代表一个椰子，利用树枝代表椰子的“个数”。一九三○年代晚期，考古学家卡尔‧艾伯索伦(KarlAbsolom)在捷克发现一根三万年前的狼骨，上面有一系列的刻痕。卡尔给了这位狼骨雕刻家一个有趣的名字「卡格」（Gog）。我们无从了解卡格使用这根骨头的目的；然而，可以肯定的是：早期的人类会数「数」。易经上记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」，「结绳而治」即是利用结绳的办法来记数；「书契」就是在物体上刻痕。南美洲古代的印加帝国（Inca，11世纪~15世纪）便广泛地利用结绳来记数，结绳方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦都有结绳记数的记载或实物标本。从两河流域的肥沃月湾（现今叙利亚、依朗）一带出土的文物中，考古学家发现许多1~3公分大小，各种不同形状的陶制记数码（下图左）。大约在公元前6000年左右，肥沃月湾一带便普遍地用陶记数码来记数。公元前3300年左右，商业行为开始发展。人们将记数码封在一个的陶制容器内，见上图右，做为帐簿或合约。然而，将记数码封在陶制容器中，每次算帐或确认时都得将容器打破，事后自然需要重做一个新的。那实在是一件很麻烦的事，所以就有人想到将记数码翻印在未干的容器外或在容器外面画一些特别的符号，来说明里面有多少记数码。之后，人们又了解到根本不需要在容器里面放任何东西，只要在一个泥版上画出相同的记号就可以了。人类竟然花了那么长时间，才看出那么明显的事实，这真是令人感到不可思议。当然，我们现在认为明显的事，当时绝对一点也不明显。把数与实际物体分离，了解「数是独立于特定物体」的抽象观念，是人类思想史上的一大进展。我们每个人在学习过程中不也都经历类似的智能成长吗？进位制早期的人类似乎只会区分「一」与「多数」；随着语言的发展，人类开始能分辨一、二及多数。现代某些语言仍然缺乏称呼较大数目的名词。玻利维亚的西利欧那印第安人（SirionaIndians）及巴西的雅拿玛族（Yanoama）的语言中没有任何数目字是大于三的；这两个部落的人使用「许多」及「大量」描述大于三的数目，正所谓「三人成众」是也！由于数字的可加性，数字的系统没有停留在三。过了一段时间，聪明的人们开始将一些数字符串在一起，产生新的数字。巴西的巴凯瑞族（Bacairi）及博洛洛族（Bororo）目前所使用的语言就显示出这个过程：他们的数字系统由「一」、「二」、「二加一」、「二加二」、「二加二加一」……以此类推。这些民族以二为单位计数，数学上称这个系统为「二进制」系统，其中「二」则称为进位系统的「基数」。在计算器科学中使用最基本的进位制就是二进制制（除了二进制制之外，四进位、八进位及十六进制也都是计算器科学中常使用之进位方法）。卡格的狼骨上刻了五十五个小记号，每五个为一组排列；在第廿五个小记号之后另外有一个记号。由此看来，卡格似乎是以五为一组来计数，然后再计算组的数目。现代的数学家称这样的计数法是「五进位」计数系统。为什么选择五呢？如果我们进一步寻求解释，你会发现这是一个主观的决定。如果卡格决定以四个为一组计数，他的数字系统照样能运行；同样的，他也可以使用十或六十来计数。分组的方法不会影响骨头上的刻痕总数，只会影响结算的方法。也就是说，不管他使用什么「基数」作运算，最后得到的结果都是一样的。古巴比伦人就是用六十进制制，希腊人、欧洲人将这系统运用于数学计算和天文学计算中，直到现在六十进制制仍被用于角度、时间等记录上。然而，卡格就是比较喜欢以五为基数计数。也许这是因为人的每只手有五根指头。即使在南美洲的二进制系统中，语言学家也看到五进位系统的萌芽。博洛洛人使用「一只手的指头总数」代替「二加二加一」。明显地，古代的人喜欢使用身体的部位计数，例如：五（一只手）、十（双手）及二十（双手双脚）是他们最喜欢使用的基数。在英文，中十一（eleven）及十二（twelve）似乎是由「比十多一」（oneover“ten”）、「比十多二」（twoover“ten”）衍生出来的，而十三、十四、十五……等等则是「三加十」、「四加十」、「五加十」的缩写。由此，语言学家下了一个结论：日耳曼语系的语言（包括英语）是以十为基本单位，因此，这些民族应该是使用十进制系统。另一方面，在法语中八十是quatre-vingt(四个廿)，九十是quatre-vingt-dix（四个廿加十）；这可能代表从前住在法国这个地方的原始部落高庐人是使用廿进位系统来计数。然而，这些系统中没有称为「零」的数字，零的观念根本不存在。你永远不需要记录零只羊，商人不会说：「我有零根香蕉。」他会告诉你：「我没有香蕉。」你不需要一个数字来表达缺乏某件东西。没有人需要使用某个符号来代表不存在。这就是为什么人类可以长久安于没有零的生活。人们根本不需要它，所以零一直没有出现。计数法埃及象形文字以十为基数，每一个数字可能有若干写法，以下分别为1、10、100、1000、10000、100000之写法：而以上两个图形分别表示106及107，这种记法的缺点是每一个更高的单位都须要创造一个新的符号。埃及的僧侣文出现在世界上最古老的数学书赖固德纸草书上（于1858为赖固德（Rhind）所得，现藏在伦敦不列颠博物馆），是从象形文字发展而来的，以下为不同数字的表示法：采用十进制制；然而，除了1、2、3、…、9各有符号外，10、20、30、…、90以及100、200、300、…、900等都有特殊符号。使用这种记数法的缺点是得记住很多符号。下面是一些例子：这种记数法我们称为「简单累数制」。巴比伦楔形文字早在公元前4、5千年，两河流域的苏美尔人（Sumerian）用木笔把楔形符号刻在软泥版上，日后被称为楔形文字，也是目前我们所知道最早的文字。后来楔形文字传给巴比伦人（公元前19世纪至公元前6世纪），巴比伦的工程师及建筑师为了日常生活中的职业需要，发展出一套记数方法是10进位和60进位的混合物，60以下用10进位、60以上用60进位。而上面两个图形分别表示11及1×60+12＝72。例如﹕（1）（50+7）(30+6)（10+5）表示1×603+57×602+36×60+15=423,375这样计数有很大的缺点，就是有时会分不清哪个数码是在什么位置上，而产生困扰。例如：可能表示3，也可能表示1×602+1×60+1=3661使用「零」是这个问题的解答。经过一千多年的摸索，在公元前三○○年左右，巴比伦人开始使用两个倾斜的楔形文字做为「零」的符号，来代表空白的位置。（请注意﹕这的写法不同与20）。例如：这种记数法我们称为「位值制」。对巴比伦人来说，零只是个位置记号，不是个数目–它没有数值。罗马数码12世纪前盛行于欧洲，目前在某些地方我们仍然使用着，如书本的卷数、章节的序号、正文前的页码等。其记数方式是用拉丁大写的字母来表示数目：I1V5X10L50C100D500M1000每一个数都要自左至右书写，单位是大到小排列，如果较小单位写在较大单位之左，则用「减法原则」。例如：IV表示5-1=4、VI表示5+1=6、IX表示10-1=9、XI表示10+1=11等，而XXCIIII则代表100-20+4＝84。试试看：将3888用罗马数码表示Ans：MMMDCCCLXXXVIII（请将答案做成连结）中国数字中国自古以来便使用10进位制，仅用十三个数字为一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万，就可以表示相当大的数目，如：二十一万四千五百五十七（＝214557），这个数目在甲骨文中已经出现（约4500年前）。将两个字合起来写，就构成其它的数字，例如：表示200表示300表示500表示2656后来，万以上的数又加了一些新字以表示更大的单位，如：亿、兆、京、垓（ㄍㄞ）、秭（ㄗˇ）、壤、沟、涧、正、载，更有人在载之后增加一个更大的数叫「恒河沙」，天晓得这个数有多大！汉朝所著「数书记遗」书中说：「黄帝为法，数有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，亿、兆、京、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上、中、下也。其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也。从亿至载，终于大衍。下数浅短，计数则不尽，上数宏廓，世不可用。其传业，惟以中数耳。」十年前大陆的某记载，说北京约有三兆人口，可见他们当时用的是下数。在广播业中，称百万赫为「兆赫」，便是采用大陆的这种译名。在台湾我们用的记数法则类似中数，但改万万进位为万进位。这是清代官方订的记数法，载于清朝康熙年间所编的官定教科书「数理精蕴」里。中国算筹计数1、2、3、4、5、6、7、8、9之表示法有纵、横两式：纵式横式记数时，个位用纵式，其余纵横相间，空一格表示「零」，例如：=3763=3703由于纵横相间而且个位又必需是纵式，所以数字的位值不致弄错。中国还有用汉字来表示数，例如：3764用汉字记法就是三千七百六十四或是简写成三七六四，也有用大写来表示，如参仟柒佰陆拾肆，是为了避免涂改而使用的。印度-阿拉伯数码是现今国际通用的数码，采十进制制。6世纪以前即由印度人所发明，后来传入阿拉伯国家。公元十二世纪后传入欧洲，又经过几百年的改革，这种数字成为我们今天使用的印度─阿拉伯数码。在欧洲人的印象中，这些数码来自阿拉伯国家，所以称之为阿拉伯数码，这个名称就一直沿用下来。「零」及古文明中的数学发展巴比伦古国位于贸易航线上，商业活动频繁。巴比伦人利用他们的算术知识，得以有效地处理金钱兑换、商品交换、计算利润、税额、分配收成、划分田地及遗产等问题并发展出了基本的代数学。由于整数和分数写法的进展，巴比伦人发展了优越的算术以及代数。——这也要归功于「零」符号的出现（虽然「零」只是个位置符号）。巴比伦人用特殊的术语和符号代表未知数，使用运算符号，他们解出了几种形式的一元及多元方程式。他们将算术广泛地应用到实际问题，其是天文及水利方面。在干燥炎热的气候中，经由他们的运河、水坝和其它灌溉计划，底格里斯河及幼发拉底河，让旱地变成了沃土，也让巴比伦成为繁荣富庶、人口众多的城市。想想看！这需要多么大量的计算功夫。由于没有零，埃及人从未曾发展方便的运算数字的方法，尤其是分数。埃及人的算术基础是建立在「倍乘」的观念上，埃及人的乘和除，基本上是利用加法运算，例如1212埃及人需要用到下列的〝乘法表〞：11222444848124961288961441281241212这和我们现在惯用的方式2121012不同。不过，显然古埃及人已经熟知整数的乘法及加法的基本性质——加法及乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律。埃及人的整数除法也是相当有趣的，例如：819：18216ˇ214412ˇ811ˇ结果为81412埃及人在几何方面十分有成就。其中有一种说法认为几何是「尼罗河的礼物」，尼罗河水每年一次的定期泛滥，淹没河流两岸的谷地。大水过后，法老要重新分配土地，长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学──geometry（几何）的geo表示土地，metron表示测量。古埃及与巴比伦的数学都是建立于经验累积之上。直线指的就是拉紧了的绳索或田地的边界（古埃及的测量工具为绳索，因而称测量员为拉绳人）；希腊语的hypotenuse（斜边）实际上是「拉紧在……之下」的意思──拉紧在直角