运用大学数学思想巧解高考题

运用大学数学思想巧解高考题摘要：高考数学试题中的一些难理解的问题往往让同学们花费很多时间。传统的作法，学生讨论的过程比较复杂，甚至许多同学不知从何入手。本文结合大学数学对洛必达法则解高考导数问题、行列式知识解高考数列问题、柯西不等式解高考中最值问题进行了解析。通过引入大学中一些简单知识得到新的方法，简化解题过程，帮助同学们提高解题技巧，让同学们在高考中增加很多优势。关键词：高考数学大学数学思想洛必达法则行列式柯西不等式引言：近年来，高考数学试题经常与大学数学思想有机接轨，运用大学数学知识解一些高考题反而会很简单且容易被同学们接受.不管高中数学还是大学数学，其思想、方法一直主导着对本学科的学习效果。大学数学中的一些思想能将高中的一些复杂问题转化为简单，理想的问题。因此了解和掌握一些大学数学思想方法可以使学生在解决高中问题的实际运用中更加得心应手，同时也有助于学生思维能力的拓宽和解题技巧的提高。下面，笔者就中学巧妙运用大学数学思想解题举几个例子。一.洛必达法则巧解高考题近年来，导数问题中的求参数取值范围成为许多数学高考试卷的压轴题中一类重点考查题型。对于这种题目，很多同学会想到分离参数方法。但在高中范围内，用分离参数的方法解这类题经常需要复杂的讨论，学生理解与应用起来常常会遇到很多困难。而利用大学数学知识中的洛必达法则来解决这一问题往往会轻松很多。洛必达法则设函数f（x）、g（x）满足：（1）limx→af（x）=limx→ag（x）=0；（2）在u0（a）内，f′（x）和g′（x）都存在，且g′（x）≠0；（3）limx→af′（x）g′（x）=a（a可为实数，也可以是±∞）则limx→af（x）g（x）=limx→af′（x）g′（x）=a。例：（2011年全国新课标理）已知函数曲线y=f（x）在点[1，f（1）]处的切线方程为x+2y-3=0。（ⅰ）求a、b的值；（ⅱ）如果当x0，且x≠1时，f（x）lnxx-1+kx，求k的取值范围。注：原解在解答第（ii）题时方法比较困难，现用洛必达法则进行如下解析：解：（ii）由题设可得，当x0，x≠1时，k0，x≠1），则g（x）=2·（x2+1）lnx-x2+1（1-x2）2，再令h（x）=（x2+1）lnx-x2+1（x0，x≠1），则h（x）=2xlnx+1x-x，h″（x）=2lnx+1-1x2，易知h″（x）=2lnx+1-1x2在（0，+∞）上为增函数，且h″（1）=0，故当x∈（0，1）时，h″（x）0。所以h′（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，故h′（x）h′（1）=0，所以h（x）在（1，+∞）上为增函数。因为h（1）=0，所以当x∈（0，1）时，h（x）0，所以当x∈（0，1）时，g′（x）0，所以g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，因为由洛必达法则知limx→1g（x）=2limx→1xlnx1-x2+1=2limx→11+lnx-2x+1=2×（-12）+1=0即k≤0，得k的取值范围（-∞，0]。通过对题目的分析，同学们容易想到用分离变量的方法，即分离参数k，再求导分离出的函数g（x）=2xlnx1-x2+1，进而分析其单调性和极值。然而，这时对于“当x=1时，函数g（x）没有意义”环节，很大一部分同学不知如何分析。但如果在之前对其讲解用洛必达法则知识来解答此类问题，将会让同学们在高考数学中节省很多时间并容易得到正确答案。二.行列式知识巧解高考题虽然行列式知识是大学数学高等代数中的内容，但其的一些思想和知识能够作为高中数学的重要工具让同学们更加便捷的解决高考难题。现在，对于用行列式知识解高考题中的数列问题做以下解析。如运用知识：若ak，al，an是等差数列an第k，l，n项，则bk，bl，bn也是等差数列bn的第k，l，n项的充分必要条件是akbk1albl1anbn1=0。例（2010年山东理科高考卷18题）已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26。an的前n项和为sn。（1）求an及sn；（2）令bn=1a2n-1（n∈n*），求数列bn的前n项和tn。解：由题目易得2a6=a5+a7=26，所以a6=13。（1）由定理1得3716131nan1=39+6an+7n-13n-3an-42=0整理得an=2n+1。由通项知当n=1时，a1=3，所以由定理3得131371n22sn-3nn=0。第3列的—1倍加到第1列，第3列的（—3）倍加到第2列，得001241n2-n2sn-6nn=0，24n2-n2sn-6n=0，sn=n2+2n。整理得：sn=n2+2n。（2）bn=1a2n-1=1（2n+1）2-1=14n2+4n，b1=18，b2=124。由上面所给行列式知识得，118121241n22tn-18nn=0，将第3列的—1倍加至第1列，将第3行的-18倍加至第2列得，0011-1121n2-n2tn-14nn=0，1-112n2-n2tn-14n=0，即：2tn-14n+112（n2-n）=0，tn=-124n2+16n通过对上题的解析可以看出，用行列式知识来求解等差数列问题就可以轻而易举的摆脱中学数学传统做法中对数列首项和公差的依赖。同时，这一知识对等比数列问题同样适用。行列式知识在解决高中数学问题中的应用还有很多，在这里不再一一列举。三.柯西不等式巧解高考题灵活的应用高等数学中的柯西不等式可以使高中数学中比较难解答的问题迎刃而解。不管是求函数的最值问题、还是证明不等式或者解几何问题，柯西不等式都可以运用到其中并简化问题。柯西不等式：（n维形式）对于任意的实数a1，a2，a3···an与b1，b2，b3，···，bn，有（a21+a22+···+a2n）（b21+b22+……+b2n）≥（a1b1+a2b2+···+anbn）2。当且仅当a1b1=a2b2=···=anbn时等号成立。（当bk=0时，认为ak=0，1≤k≤n）。例：（2008年全国高考（ii）卷（理））如图设椭圆中心在坐标原点，a（2，0）b（0，1）是它的两个顶点，直线y=kx（k0）与ab相交于点d，与椭圆相交于e、f两点。（1）若ab=6df，求k的值。（2）求四边形aebf面积的最大值.解：由已知，顶点a（2，0）b（0，1）易得椭圆方程x24+y2=1，直线ab方程x+2y—2=0。记点e与点f到直线ab的距离分别为d1与d2，e（x0，y0），f（-x0，-y0）则d1=x0+2y0-25？？，d2=x0+2y0+25从而四边形aebf的面积s四边形abcd=12ab·（d1+d2）=x0+2y0-2+x0+2y0+22考虑到点e（x0，y0）在椭圆x24+y2=1上，即x204+y20=1，由柯西不等式得x0+2y0=2·x02+2·y0≤22+22·x204+y20=22则x0+2y0∈-22，22由绝对值的几何意义，故当x0+2y0=±22时，s四边形aebf=x0+2y0-2+x0+2y0+22取到最大值22。数学在高考答题中是一门时间紧迫的学科，因为压轴题解题过程的复杂性，使得大部分同学在压轴题中失去很多分数。而大学数学思想能将高中数学问题简单化、理性化。所以，适当的掌握一些与解高中题目联系紧密大学思想将会让同学们在高考或数学竞赛中增加很多优势。（作者单位：西南大学数学与统计学院）指导老师：于波参考文献[1]杨立群.行列式在中学数学中的运用[g].[硕士学位论文].东北师范大学2012[2]王伟.中学数学思想方法及其教学研究[j].才智.2010[3]余池曾.柯西不等式在高中数学中的应用研究[g].[硕士学位论文].广州大学.2012