2018年全国初中数学联赛试题

2018年初中数学联赛试题说明：评阅试卷时，请依据本评分标准．第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数．第一试(A)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.设二次函数2222ayxax=++的图象的顶点为A，与x轴的交点为B，C．当ABC△为等边三角形时，其边长为()A．6B．22C．23D．322.如图，在矩形ABCD中，BAD的平分线交BD于点E，115ABCAE==，，则BE=()A．33B．22C．21−D．31−3.设pq，均为大于3的素数，则使2254ppqq++为完全平方数的素数对(p，q)的个数为()A．1B．2C．3D．44.若实数a，b满足2ab−=，()()22114abba−+−=，则55ab−=()A．46B．64C．82D．1285.对任意的整数x，y，定义@xyxyxy=+−，则使得()()@@@@xyzyzx++()@@0zxy=的整数组(x，y，z)的个数为()A．1B．2C．3D．46.设11112018201920202050M=++++，则1M的整数部分是()A．60B．61C．62D．63二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.如图，在平行四边形ABCD中，2BCABCEAB=⊥，于E，F为AD的中点，若AEF48=，则B=．8.若实数xy，满足()3311542xyxy+++=，则xy+的最大值为．9.没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为．10.已知实数abc，，满足0abc++=，2221abc++=，则555abcabc++=．第一试(B)一、选择题：(本题满分42分，每小题7分)1.满足()2211xxx++−=的整数x的个数为()A．1B．2C．3D．42.已知123xxx，，(123xxx)为关于x的方程()32320xxaxa−++−=的三个实数根，则22211234xxxx−++=()A．5B．6C．7D．83.已知点EF，分别在正方形ABCD的边CD，AD上，4CDCEEFBFBC==，，则tanABF=()A．12B．35C．22D．324.方程339xx++=的实数根的个数为()A．0B．1C．2D．35.设a，b，c为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组(a，b，c)的个数为()A．4B．5C．6D．76.已知实数a，b满足3232351355aaabbb−+=−+=，，则ab+=()A．2B．3C．4D．5二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)7.已知pqr，，为素数，且pqr整除1pqqrrp++−，则pqr++=．8.已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．9.已知D是ABC△内一点，E是AC的中点，610ABBCBADBCD===，，，EDC=ABD，则DE=．10.已知二次函数()()222221450yxmnxmn=++++++的图象在x轴的上方，则满足条件的正整数对(m，n)的个数为．第二试(A)一、(本题满分20分)设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程210110xcxd−−=的根，c，d为方程2100xaxb−−=的根，求abcd+++的值．二、(本题满分25分)如图，在扇形OAB中，9012AOBOA==，，点C在OA上，4AC=，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．(1)当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；(2)求2CEDE+的最小值．三、(本题满分25分)求所有的正整数m，n，使得()33222mnmnmn+−+是非负整数．第二试(B)一、(本题满分20分)若实数a，b，c满足()11195555abcabcbcacab++++=+−+−+−，求()111abcabc++++的值．二、(本题满分25分)如图，点E在四边形ABCD的边AB上，ABC△和CDE△都是等腰直角三角形，ABACDEDC==，．(1)证明：ADBC∥；(2)设AC与DE交于点P，如果30ACE=，求DPPE．三、(本题满分25分)设x是一个四位数，x的各位数字之和为1mx+，的各位数字之和为n，并且m与n的最大公约数是一个大于2的素数．求x．