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1安徽省合肥市南园中学2016届九年级数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知=，则的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则cosB是（）A．B．C．D．3．已知一个斜坡长50米，其铅垂高度为25米，则这个斜坡的坡度为（）A．：1B．1：C．1：2D．30°4．如图，▱ABCD中，E、F是边BC的三等分点，AF交DE于点M，则AM：AF等于（）A．3：2B．2：3C．3：4D．4：35．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°6．如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=1.4m，CA=0.7m，于是得出树的高度为（）A．3.2mB．4.8mC．6.4mD．8m7．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中能推出△ABC是直角三角形的（）2A．∠A：∠B：∠C=4：3：5B．∠ACD=∠AC．=D．AC•BD=BC•AD8．已知五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，若五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，则五边形FGHIJ的周长和面积分别为（）A．12和30B．12和60C．24和30D．24和609．如图所示的暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的倍，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S对两灯塔A，B的视角∠ASB必须（）A．大于60°B．小于60°C．大于45°D．小于45°10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，AC、BD交于点O，记△AOD、△AOB、△BOC、△COD的面积分别为S1、S2、S3、S4，下列结论正确的是（）A．S1：S2=1：4B．S1：S3=1：2C．S1•S3=S22D．S1+S2=S3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．已知线段a和b的长分别是1和4，则a和b的比例中项为．12．如图，点A、B、C、D在同一个圆上，若∠A=90°，CD=2，BC=3，这个圆的直径为．313．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD．则AB与BC的数量关系为．14．如图，在△ABC中，DE∥AB，，AB=3，S△ABC=6，则下面五个结论：①DE=；②△CDE∽△CAB；③DE与AB之间的距离为；④△CDE的面积与四边形ABED的面积之比为1：9；⑤若△ABC的周长为10，则四边形ABED的周长为．其中正确的有（直接填序号）．三．（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）．求sin120°，cos120°，sin150°的值．16．如图，AE交△ABC边BC于点D，∠C=∠E，AD=8，BC=16，若BD：DC=5：3，求DE的长．4四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标．（1）以点（3，6）为位似中心，在网格中将△ABC放大，使变换后得到的△A1B1C1与△ABC对应边的比为2：1．请在网格内画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标：；（2）已知点P为△ABC边AC的中点，若将△ABC以O点为旋转中心逆时针旋转90°，请直接写出点P变化后的对应点Q的坐标：．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．点B是线段AC上一点，且AB=40cm，∠DBC=75°．（1）求点B到AD的距离；（2）求线段CD的长（结果用根号表示）．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．汽车正在行驶可车轮突然陷入无盖井，骑车人正在快速前行却因突然出现在面前的凸起井盖被摔伤，夜间出门时被一个没有井盖的窖井吞噬…全国各地因为井盖缺失而造成事故的情形不绝于耳，井盖吞人事件更是频频发生，为了保障市民的人身安全，合肥市政部门开始更换质量更好的井盖（如图所示）．小明想知道井盖的半径，在⊙O上，取了三个点A、B、C，测量出AB=AC=50，BC=80，请你帮助小明求出井盖的半径，写出计算过程．20．阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：5sin30°=，cos30°=，则sin230°+cos230°=；①sin45°=，cos45°=，则sin245°+cos245°=；②sin60°=，cos60°=，则sin260°+cos260°=．③…观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=．④（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．六、（本题满分12分）21．如图，AC是⊙O的直径，AC=10，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）若E是BD中点，求AD2+BC2的值．七、（本题满分12分）22．如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅．把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC=180厘米，AM=50厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，AM与地面ME成45°角，AB∥ME，椅背BC与水平线成30°角，其中BP是躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于30°．（1）若点B恰好是MC的黄金分割点（MB＞BC），人躺在上面才会比较舒适，求此时点C与地面的距离．（结果精确到1厘米）（2）午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在（1）的条件下，求伸缩支架BP可达到的最大值．（结果精确到1厘米）（参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）6八、（本题满分14分）23．如图1，△EAB和△EDC均为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，且，BC=6，在图1中，以点E为位似中心，在△EAB内作△EGF与△EAB位似，相似比是1：k（k≠1），点H是边CE上一动点（不与点C、点E重合），连接GH，HD，如图2．（1）若k=2时，求证：△EGF≌△EDC；（2）若k=4时，是否存在点H使得△HGF和△CDH相似？如果存在，求出CH的值；如果不存在，请说明理由；（3）如果△HGF和△CDH相似，求出k的取值应该满足的条件．九、附加题：（本题满分0分，本题得分计入总分，但累计总得分不超过150分）24．如图1所示，在图中作出两条直线，就能使它们将圆面四等分．研究图1中的思想方法解决以下问题：（1）如图2，M是正方形ABCD内一定点，请在图2中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，不必说明理由；（2）如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点．如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．78安徽省合肥市南园中学2016届九年级上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．已知=，则的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【考点】比例的性质．【分析】根据题意得出x=y，进而化简求出答案．【解答】解：∵=，∴x=y，∴的值为：=﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数代替另一个未知数是解题关键．2．在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则cosB是（）A．B．C．D．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据特殊角三角函数值，可得∠A，根据直角三角形的性质，可得∠B，根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由△ABC中，∠C=90°，若tanA=，得∠A=60°，∠B=90°﹣∠A=30°．cosB=cos30°=．故选：C．【点评】本题考查了互余两角三角函数关系，熟记特殊角三角函数知识解题关键．3．已知一个斜坡长50米，其铅垂高度为25米，则这个斜坡的坡度为（）A．：1B．1：C．1：2D．30°【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】探究型．【分析】根据一个斜坡长50米，其铅垂高度为25米，根据勾股定理可以求得斜坡的水平距离，从9而可以求得斜坡的坡度，本题得以解决．【解答】解：∵一个斜坡长50米，其铅垂高度为25米，∴这个斜坡的水平距离为：米，∴这个斜坡的坡度为：25：25=1：．故选B．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值．4．如图，▱ABCD中，E、F是边BC的三等分点，AF交DE于点M，则AM：AF等于（）A．3：2B．2：3C．3：4D．4：3【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】根据平行四边形的性质得AD=BC，AD∥BC，则BC=AD=3EF，再由AD∥EF可判断△AMD∽△FME，根据相似三角形的性质得AM：MF=AD：EF=3：1，然后利用比例性质可得AM：AF=3：4．【解答】解：∵E、F是边BC的三等分点，∴BC=3EF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴AD=3EF，∵AD∥EF，∴△AMD∽△FME，∴AM：MF=AD：EF=3：1，∴AM：AF=3：4．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要对应边的比相等，对应角相等．也考查了平行四边形的性质．5．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB=40°，则∠CBA的度数为（）A．60°B．50°C．40°D．30°10【考点】圆周角定理．【分析】首先连接AC，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，然后由圆周角定理，求得∠A=∠D，继而求得答案．【解答】解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=40°，∴∠CBA=90°﹣∠A=50°．故选B．【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．如图，身高为1.6m的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=1.4m，CA=0.7m，于是得出树的高度为（）A．3.2mB．4.8mC．6.4mD．8m【考点】相似三角形的应用．【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：如图，∵BC=1.4m，CA=0.7m，∴AB=AC+BC=0.7+1.4=2.1（m），∵小明与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴=，即=，解得BD=4.8．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比11例式是解题的关键．7．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，下列条件中能推出△ABC是直角三角形的（）A．∠A：∠B：∠C=4：3：5B．∠ACD=∠AC．=D．AC•BD=BC•AD【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】利用等角的余角相等得到∠B=∠ACD，则可判断Rt△ACD∽Rt△BCD，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=∠CAD=90°，∴∠B+∠BCD=90°，而∠BCD=∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∴Rt△ACD∽Rt△BCD，∴，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．也考查了相似三角形的判定与性质．8．已知五边形ABCDE∽五边形FGHI