2014北京中考真题数学(含解析)

1/152014年北京中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．2的相反数是（）．A．2B．2C．12D．122．据报道，某小区居民李先生改进用水设备，在十年内帮助他居住小区的居民累计节水300000吨，将300000用科学记数法表示应为（）．A．60.310B．5310C．6310D．430103．如图，有6张扑克牌，从中随机抽取1张，点数为偶数的概率（）．A．16B．14C．13D．124．右图是某几何体的三视图，该几何体是（）．A．圆锥B．圆柱C．正三棱柱D．正三棱锥5．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（）．A．18，19B．19，19C．18，19.5D．19，19.56．园林队公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面积S（单位：平方米）与工作时间t（单位：小时）的函数关系的图像如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（）．A．40平方米B．50平方米C．80平方米D．100平方米7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，22.5A，4OC，CD的长为（）．A．22B．4C．42D．8年龄（岁）18192021人数54122/158．已知点A为某封闭图形边界的一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点P的时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（）．二．填空题（本体共16分，每题4分）9．分解因式：429axay___________________．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为_________________m．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2．写出一个函数(0)kykx使它的图象与正方形OABC有公共点，这个函数的表达式为______________．12．在平面直角坐标系xOy中，对于点(,)Pxy，我们把点(1,1)Pyx叫做点P伴随点，一直点1A的伴随点为2A，点2A的伴随点为3A，点3A的伴随点为4A，这样依次得到点1A，2A，3A，…，nA…，若点1A的坐标为(3,1)，则点3A的坐标为__________，点2014A的坐标为__________；若点1A的坐标为(,)ab，对于任意正整数n，点nA均在x轴上方，则a，b应满足的条件为_____________．三．解答题（本题共30分，每小题5分）13．如图，点B在线段AD上，BCDE∥，ABED，BCDB．求证：AE．3/1514．计算：011(6π)()3tan30+35．15．解不等式1211232xx≤，并把它的解集在数轴上表示出来．16．已知3xy，求代数式2(1)2(2)xxyyx的值．17．已知关于x的方程2(2)20mxmx(0)m．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．4/1518．列方程或方程组解应用题小马自驾私家车从A地到B地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多0.54元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费．19．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，BF平分ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF、PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若4AB，6AD，60ABC，求tanADP的值．20．根据某研究院公布的20092013年我国成年国民阅读调查报告的部分数据，绘制的统计图表如下：2013年成年国民2009~2013年成年国民倾向的阅读方式人数分布统计图年人均阅读图书数量统计表年份年人均阅读图书数量（本）20093．8820104．1220114．3520124．5620134．78根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2009到2013年，成年国民年人均阅读图书的数量每年增长的幅度近似相等，估算2014年成年国民年人均阅读图书的数量约为_________本；（3）2013年某小区倾向图书阅读的成年国民有990人，若该小区2014年与2013年成年国民的人数基本持平，估算2014年该小区成年国民阅读图书的总数量约为_________本．5/1521．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线DB于点F，AF交⊙O于点H，连结BH．（1）求证：ACCD；（2）若2OB，求BH的长．22．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC△中，点D在线段BC上，75BAD，30CAD，2AD，2BDCD，求AC的长．小腾发现，过点C作CEAB∥，交AD的延长线于点E，通过构造ACE△，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：ACE的度数为___________，AC的长为_____________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，90BAC，30CAD，75ADC，AC与BD交于点E，2AE，2BEED，求BC的长．6/15五．解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22yxmxn经过点(0,2)A，(3,4)B．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．24．在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若20PAB，求ADF的度数；（3）如图2，若4590PAB，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并证明．7/1525．对某一个函数给出如下定义：若存在实数0M，对于任意的函数值y，都满足MyM≤≤，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数1(0)yxx和1(42)yxx≤是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；（2）若函数1(,)yxaxbba的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数2(1,0)yxxmm≤≤≥的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足314t≤≤？8/152014年北京中考数学试卷答案一.选择题（本题共32分，每小题4分）：题号12345678选项BBDCABCA二.填空题（本题共16分，每小题4分）：题号9101112答案22(3)(3)axyxy154yx（答案不唯一）(3,1)，(0,4)，11a且02b三.解答题（本题共30分，每小题5分）：13．（本小题满分5分）证明：∵BCDE∥，∴ABCEDB；在ABC△和EDB△中，ABDEABCEDBBCDE，∴ABCEDB△△，∴AE．14．（本小题满分5分）解：原式31(5)333=43+34．15．（本小题满分5分）解：移项得：1211232xx≤，合并同类项得：1162x≤，系数化为1：3x≥．16．（本小题满分5分）解：化简代数式可得：9/15原式222122xxxyxy22=2+1xxyy2()1xy．∵3xy，∴原式2=(3)+1=4．∴原代数式的值为4．17．（本小题满分5分）（1）证明：可知2=4bac2(2)42mm2448mmm244mm2(2)0m≥．∴方程总有两个实数根．（2）原方程可化为：(2)(1)0mxx，解得：11x，22xm．由题意可知，方程的两个实数根均为整数，∴2x必为整数；又∵m为正整数；∴1m或者2．18．（本小题满分5分）解：设新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为x元，依题可得：108270.54+xx，解得：0.18x．经检验：0.18x是原方程的解，且符合题意．答：新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元，解法二：设A、B两地距离为x千米由题意可知：108270.54xx，解得：150x．经检验：150x是原方程的解，且符合题意．∴纯电动汽车每行驶一千米所需电费为：27=0.18150（元/千米）四.解答题（本题共20分，每小题满分5分）：19．（本小题满分5分）10/15（1）证明：∵ABCD是平行四边形∴ABCD∥，ADCB∥，∴DAEBEA，EBFAFB．∵AE平分BAD，BF平分ABC；∴BAEDAE，ABFCBF；∴ABFAFB，BAEAEB，∴ABBEAF，∵AFBE∥，∴四边形ABEF为菱形．（2）解：作PHAD，∵60ABC，ABBE；∴ABE△为等边三角形；∴4AEAB，60DAE；∵四边形ABEF为菱形；∴P点为AE中点；∴2AP；可知：1AH，3PH．∵6AD；∴5DH；3PH∴3tan5PHADPDH．20．（本小题满分5分）（1）66；（2）5.01；（3）7575．21．（本小题满分5分）（1）证明：连接OC∵BD为⊙O的切线，AB为直径；∴90ABD；∵C点为弧AB中点；∴90COA∴COBD∥；∵O点为AB中点，∴点C为AD中点，即：ACCD．（2）解：∵COAB；E为OB中点，2OB，∴1OBBE．∵COFD∥，∴COEFBE△△，∴2BFCO．∵AB为直径，11/15∴90AHBABF．∵BFHAFB，∴ABFBHF∽△△．∴2ABBHBFFH，∴::1:2:5BHFHBF．∵2BF，∴245255BH．22．（本小题满分5分）（1）75，3（2）解：过点D作DFAC，∵90BAC，∴ABDF∥．∵2BEED；∴2ABAEBEDFEFDE．∵2AE，∴1EF，∴3AF．∵30CAD，90AFD，∴3DF，23AD．∵30CAD，75ADC，∴75ACD，即ACAD，可知：23ACAD．∵3DF，∴23AB．∴ABC△为等腰直角三角形，∴226BCAB．五.解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）：23．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线22yxmxn经过点(0,2)A，(3,4)B，代入得：18+342mnn解得：42mn∴抛物线的表达式为：2242yxx．∴对称轴为：1x．12/15（2）由题意可知：(3,4)B，(3,4)C二次函数2242yxx的顶点坐标为(1,4)；由图像可以看出D点坐标最小值即为4；最大值即BC的解析式：43yx．当1x时，43y．∴443t≤≤．∴点D纵坐标t的取值范围443t≤≤．24．（本小题满分7分）解：（1）补全图形如图所示：（2）连接AE，依题可知，20PABPAE，ABAEAD，130DAEDABBAE．∴25DAEAED．（3）连接AE、BF、AD．由对称性可知：AEABAD，EFBF，ABE△、AED△、EFB△都是等腰三角形．∴AEBABE，AEDADE．∵90BAD