2015年上海市嘉定区高考数学理科一模试题

12014学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设i是虚数单位，则iii123__________．2．函数xxy21)1lg(的定义域是________________．3．已知直线l垂直于直线0532yx，则直线l的一个法向量n___________．4．已知24a，axlg，则x____________．5．为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为______________．6．若椭圆122ymx的一个焦点与抛物线xy42的焦点重合，则m__________．7．若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．8．将函数xxxf2sin12cos3)(的图像向左平移m（0m）个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值为______________．9．设无穷等比数列}{na的公比为q．若1242)(limaaaann，则q________．10．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知AcCacos2cos3，31tanA，则B___________．11．甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是___________．12．设正数a、b满足abba32，则ba的最小值是____________．13．若函数)(xf满足：①在定义域D内是单调函数；②存在Dba],[（ba），使)(xf在],[ba上的值域为],[ab，那么)(xfy叫做对称函数．现有kxxf1)(是对称函数，则实数k的取值范围是_______________．214．设数列}{na是等差数列，其首项11a，公差0d，}{na的前n项和为nS，且对任意n*N，总存在m*N，使得mnaS．则d_________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“10x”是“1)1(log2x”的…………………………………………………（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件16．设a、b是关于t的方程0sincos2tt的两个不相等实根，则过),(2aaA、),(2bbB两点的直线与双曲线1sincos2222yx的公共点个数是…………………（）A．3B．2C．1D．017．定义在区间),1[上的函数)(xf满足：①)(2)2(xfxf；②当42x时，|3|1)(xxf，则集合)}34()({fxfxS中的最小元素是……………………（）A．2B．4C．6D．818．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()fx，则y=()fx在],0[上的图像大致为………………………………………………………（）A．B．C．D．Oxyπ1Oxyπ1Oxyπ1Oxyπ1OAMP3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．已知Rx，向量)cos,2(sinxxa，)cos2,1(xb，baxf)(．（1）求)(xf的单调递增区间；（2）若是第二象限角，12cos4cos5242f，求sincos的值．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111CBAABC中，90BAC，21AAACAB，点E、F分别为棱AC与11BA的中点．（1）求三棱锥11EFCA的体积；（2）求异面直线CA1与EF所成角的大小．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知点)2,0(A，椭圆E：12222byax（0ba）的长轴长为4，F是椭圆的右焦点，直线AF的一个方向向量为)2,3(d，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积S最大时，求l的方程．FCAEBA1C1B1422．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．已知函数xxkxf22)(（Rx）．（1）判断函数)(xf的奇偶性，并说明理由；（2）设0k，问函数)(xf的图像是否关于某直线mx成轴对称图形，如果是，求出m的值；如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数)(xg的图像关于某直线mx成轴对称图形”的充要条件为“函数)(xmg是偶函数”）（3）设1k，函数aaxhxx3422)(1，若函数)(xf与)(xh的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知数列}{na、}{nb的各项均为正数，且对任意*Nn，都有na，nb，1na成等差数列，nb，1na，1nb成等比数列，且101a，152a．（1）求证：数列}{nb是等差数列；（2）求数列}{na、}{nb的通项公式；（3）设nnaaaS11121，如果对任意*Nn，不等式nnnabSa22恒成立，求实数a的取值范围．52014学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．12．)2,1(3．)2,3(4．105．156．217．41arcsin8．39．21510．4311．4312．62513．45,114．1第14题详解：dnnndnnnaSn2)1(2)1(1，因为对任意*Nn，存在*Nm，使得mnaS，即dmdnnn)1(12)1(，取2n，得dmd)1(1，dm12，因为0d，所以2m，故1m，1d．二．选择题（每题5分，满分20分）15．A16．D17．C18．B三．解答题（本大题满分74分）注：解答题评分标准所给的是各步骤的累加分，与参考答案不同的解法可酌情给分．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分满分7分．（1）142sin212cos2sincos22sin)(2xxxxxxf，……（2分）由224222kxk（Zk），…………（4分）得)(xf的单调递增区间是8,83kk（Zk）．…………（5分）（2）由已知得，12cos4cos52414sin2，…………（2分）即2cos4cos544sin，………………（3分）所以，)sin)(cossin)(cossin(cos54cossin，………（4分）若0cossin，则1tan，所以2sincos；……………（5分）若0cossin，则1)sin(cos542，25sincos．…………（6分）综上，sincos的值为2或25．…………（7分）（分类得到2个答案，不写最后一步可不扣分）620．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．（1）3221313111111111111AAFACAAASVVFCAFCAEEFCA．……（5分）（参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）（2）取1AA中点G，联结EG，FG，则EG∥CA1，………（1分）所以，FEG是异面直线CA1与EF所成的角（或其补角），…………（2分）在△EFG中，2FGEG，6EF，………………………（4分）所以，232cos222EGEFFGEFEGFEG，故6FEG．……（6分）所以，异面直线CA1与EF所成角的大小为6．………………………（7分）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．（1）设)0,(cF，直线AF的点方向式方程为223yx，………………（2分）令0y，得3x，即3c，………………………………………（3分）由已知，2a，所以1222cab．………………………………………（5分）所以椭圆E的方程为1422yx．………………………………………（6分）（2）由题意，设直线l的方程为2kxy，将2kxy代入1422yx，得01216)14(22kxxk，…………（1分）当△0)34(162k，即432k时，直线l与椭圆E相交，……………（2分）设),(11yxP，),(22yxQ，则1416221kkxx，1412221kxx，………（3分）所以]4))[(1())(1()()(||2122122212221221xxxxkxxkyyxxPQ34141414481416)1(2222222kkkkkkk，又点O到直线l的距离122kd，所以△OPQ的面积14344||2122kkdPQS．设tk342，则0t，ttttS44442，………………（5分）因为44tt，所以1S，当且仅当2t，即27k时，S取最大值1．……（7分）所以，当△OPQ的面积S最大时，直线l的方程为227xy．……………（8分）（直线方程用其他形式也可以）722．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．（1）xxkxf22)(，若)(xf是偶函数，则)()(xfxf，即xxxxkk2222，…………（1分）所以0)22)(1(xxk对任意实数x成立，所以1k；…………………（2分）若)(xf是奇函数，则)()(xfxf，即xxxxkk2222，………（3分）所以0)22)(1(xxk对任意实数x成立，所以1k。…………………（4分）综上，当1k时，)(xf是偶函数；当1k时，)(xf是奇函数；当1k时，)(xf既不是奇函数也不是偶函数。……………………………………………………（5分）（2）当0k时，若函数)(xf的图像是轴对称图形，且对称轴是直线mx，则函数)(xmf是偶函数，即对任意实数x，)()(xmfxmf，………………（1分）故)()(2222xmxmxmxmkk，化简得0)22)(22(mmxxk，…（3分）因为上式对任意Rx成立，所以022mmk，km2log21．………………（4分）所以，函数)(xf的图像是轴对称图形，其对称轴是直线kx2log21．…………（5分）（3）