2016考研公共课数学一完整版真题及答案解析下载

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案12016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)若反常积分011()abdxxx收敛，则()(A)1a且1.b(B)1a且1.b(C)1a且1.ab(D)1a且1ab.【答案】(C)【解析】排除法.根据被积函数特点，取0a，1001(1)(1)1bbdxxxb111[lim1]1(1)bxbx收敛，只需保证1b即可.说明，1a可以使原广义积分收敛，排除B和D.再取1,2ab，2220000(1)11(1)(1)1(1)xdxxdxdxdxxxxx001ln(1)1xx，发散，说明满足A的条件，但是原广义积分发散，排除A.(2)已知函数2111(),,()ln,,xxfxxx则()fx的一个原函数是（）(A)21111(),,()(ln),.xxFxxxx(B)211111(),,()(ln),.xxFxxxx(C)211111(),,()(ln),.xxFxxxx(D)211111(),,()(ln),.xxFxxxx【答案】(D)【解析】当1x时，21()2(1)2FxxdxxxC；当1x时，2()lnlnFxxdxxxxC；且21111lim()lim(2)1xxFxxxCC，2211lim()lim(ln)1xxFxxxxCC.由11lim()lim()(1)xxFxFxF可知：12CC.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案2取12CCC，其原函数为22,1()ln,1xxCxFxxxxCx.当1C时，对应的原函数为D.(3)若2222221111(),()yxxyxx是微分方程()()ypxyqx的两个解，则()qx（）(A)231xx().(B)231().xx(C)21.xx(D)21.xx【答案】(A)【解析】因为2221()(1)1yxxx和2222()(1)1yxxx为()()ypxyqx的两个解，那么，221()()21yxyxx为()0ypxy的解.代入该齐次方程可得222()2101xpxxx，故，2()1xpxx.再将2222()(1)1yxxx代入原方程可得2222224(1)[(1)1]()11xxxxxxqxxx，所以，2()3(1)qxxx，选择A.(4)已知函数0111121,,(),,,,,xxfxxnnnn则（）(A)0x是()fx的第一类间断点.(B)0x是()fx的第二类间断点.(C)()fx在0x处连续但不可导.(D)()fx在0x处可导.【答案】(D)【解析】因为00lim()lim0xxfxx，01lim()lim0nxfxn，可得，00lim()lim()(0)xxfxfxf，故()fx在0x点连续.又因为00()(0)0(0)limlim100xxfxfxfxx，001()(0)(0)limlim00xxfxfnfxx，而111xnn，有11nnx，当0x时，n，可得1111(0)nxnxn，那么(0)1f.所以，()fx在0x点可导.选择D.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案3(5)设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是()(A)TA与TB相似.(B)1A与1B相似..(C)TAA与TBB相似.(D)1AA与1BB相似.【答案】（C）【解析】A与B相似，即存在可逆矩阵P，使1PAPB，则111111TTTTTTTTTTTBPAPPAPPAPPAP，即（A）是正确说法；111111111BPAPPAPPAP，进一步有111111BBPAPPAPPAAP，即（B）（D）都是正确说法；故选（C）.(6)设二次型222123123121323(,,)444fxxxxxxxxxxxx，则123(,,)2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为()(A)单叶双曲面.(B)双叶双曲面.(C)椭球面.(D)柱面.【答案】（B）【解析】二次型123,,fxxx对应的矩阵122212221A，由2122212510221EA得，A的特征值为1235,1，所以经过正交变换后，222123123,,5fxxxyyy，于是123,,2fxxx表示曲面22212352yyy，是双叶双曲面.故选（B）.(7)设随机变量2~(,)(0)XN，记2pPX，则()(A)p随着的增加而增加.(B)p随着的增加而增加.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案4(C)p随着的增加而减少.(D)p随着的增加而减少.【答案】B【解析】22{}()()PX由于正态分布的分布函数是单调递增的，所以2{}PX随着的增加而增加.(8)随机试验E有三种两两不相容的结果123,,,AAA且三种结果发生的概率均为13,将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果1A发生的次数，Y表示2次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）(A)12(B)13(C)13(D)12【答案】(A)【解析】方法一：(,)XY的概率分布为XY0120192919129290219002()()3EXEY，2()9EXY，所以2(,)()()()9CovXYEXYEXEY228()()9EXEY，4()()9DXDY所以相关系数(,)12()()XYCovXYDXDY.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案5方法二：设Z表示2次试验中结果3A发生的次数，则2XYZ。根据方差的性质有=22DYDXZDXZDXDZCovXZ()()()()()(,)，注意到=DYDXDZCovXZCovXY()()(),(,)(,)，从而=2DXCovXY()(,)。所以根据相关系数的定义有1=2XYCovXYCovXYDXDYDXDX(,)(,)()()()()。二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)020ln1sinlim_____.1cosxxtttdtx【答案】21【解析】200cos1)sin1ln(limxdttttxx40021)sin1ln(limxdttttxx302)sin1ln(limxxxxx212sinlim20xxxx.(10)向量场,,Axyzxyzxyzijk的旋度_____.rotA【答案】)1,1,0(y【解析】)1,1,0(yzxyzyxzyxkjiArot(11)设函数,fuv可微，,zzxy由方程221,xzyxfxzy确定，则0,1|_____.dz2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案6【答案】dydx2【解析】将1,0yx代入),()1(22yzxfxyzx得1z.),()1(22yzxfxyzx两边对x求偏导得：21(1)2(1)zzzxxfxfxx将1,0yx，1z代入上式得1)1,0(xz.),()1(22yzxfxyzx两边对y求偏导得：212(1)2(())zzxyxffyy将1,0yx，1z代入上式得2)1,0(yz，所以)1,0(dzdydx2.(12)设函数2arctan1xfxxax，且01f，则_____.a【答案】21【解析】由已知得2222)1(111)(axaxxxf,32222)1()3(2)1(2)(axaxaxxxxf，所以axaxaxaxxxxfxffxx62)1()3(2)1(2lim)0()(lim)0(3222200，即162a，所以21a.(13)行列式100010_____.0014321【答案】4322342016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案7【解析】4142100100000104(1)103(1)0100010101432143442310102(1)00(1)(1)01432(1)00100432234.(14)设12,,...,nxxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为_____.【答案】(8.2,10.8)【解析】的置信水平为1的置信区间是22(1),(1)ssxtnxtnnn的置信水平为1的置信区间为(,)xaxa已知9.5x，置信上限是10.8即10.8xa解得1.3a，所以置信区间为(9.51.3,9.51.3)，即（8.2,10.8）.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知平面区域,221cos,,22Drr计算二重积分Dxdxdy.【解析】二重积分为2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案82(1cos)220232(1cos)22032023202342220002cos12cos316(1cos)1cos3163cos3coscoscos31616cos16coscos312163116162233422DIxdxdydrdrrdddddd325.3(16)(本题满分10分)设函数()yx满足方程20yyky，其中01k.（I）证明：反常积分0()yxdx收敛；（II）若+0(0)1,(0)1,()yyyxdx求的值.【解析】(I)证明：原方程对应的特征方程为220k，则224410kk，即方程有两个不同的实根，从而由根与系数的关系可得12122,k，再由01k得120,0，且原方程的通解为1212xxyxCeCe，则12121212120012120xxxxCCCCyxdxCeCedxee，即0yxdx收敛。2016年全国硕士研究生入学统一考试数