2014北京西城高三二模数学(理)试卷与解析(易题库教研团队出品)

年高三二模试卷数学（理科）2014.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}Axx，{|}Bxxa，若ABA，则实数a的取值范围是（）（A）(,2]（B）[2,)（C）(,2]（D）[2,)解析：{|20}{|2}Axxxx，,ABAAB,所以满足2a，所以答案选择D.2．在复平面内，复数2=(12i)z对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：22=(12i)14434ziii，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。3．直线2yx为双曲线22221(0,0)xyCabab：的一条渐近线，则双曲线C的离心率是（）（A）5（B）52（C）3（D）32高考高频考点尽在易题库解析：双曲线的渐近线方程为byxa，2222222,,5,5,5bcabcaeea，所以答案为C4．某四棱锥的三视图如图所示，记A为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A）2A，且4A（B）2A，且4A（C）2A，且25A（D）2A，且17A解析：有三视图可得，该四棱锥是底面边长为2的正方形，高为4的正四棱锥，所以每个侧棱长为24117。所以答案D。5．设平面向量a，b，c均为非零向量，则“()0abc”是“bc”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：平面向量a，b，c均为非零向量，()0abc，可以得出bc或者()abc；所以为必要不充分条件。答案为B.6．如图，阴影区域是由函数cosyx的一段图象与x轴围成的封闭图形，那么这个阴影区域的面积是（）（A）1（B）2（C）π2（D）π解析：求解阴影部分的面积要利用积分的方法332222(0cos)sin(11)2xdxx。所以答案为B。正(主)视图俯视图侧(左)视图414111Oxyπ3π22中，不等式组0,0,80xyxy≥≥≤所表示的平面区域是，不等式组4100,0xy≤≤≤≤所表示的平面区域是.从区域中随机取一点(,)Pxy，则P为区域内的点的概率是（）（A）14（B）35（C）34（D）15解析：做出平面区域是是以8为边长的等腰直角三角形，平面区域是是长为10，宽为4的矩形，S=14(48)3214882S.所以答案C.8.设为平面直角坐标系xOy中的点集，从中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，记点M的横坐标的最大值与最小值之差为()x，点N的纵坐标的最大值与最小值之差为()y.若是边长为1的正方形，给出下列三个结论：○1()x的最大值为2；○2()()xy的取值范围是[2,22]；○3()()xy恒等于0.其中所有正确结论的序号是（）（A）○1（B）○2○3（C）○1○2（D）○1○2○3解析：()x与()y对称，()()xy恒等于0.所以当正方形与坐标轴的交点坐标分别为1111(,0),(,0),(0,),(0,)2222时，minminminmin()1,()1()()2xyxy；当正方形与坐标轴的交点坐标分别为(,0),(,0),(0,),(0,)2222()2,()2()()22xyxy所以答案为D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．61()xx的二项展开式中，常数项为______．解析：61()xx的二项展开式中，常数项为3333661()20CxCx10.在△ABC中，若4a，3b，1cos3A，则sinA_____；B_____．解析：22sincos1AA,A是锐角22sin3A，ab，43,,sinsinsin4223ababBABB11．如图，AB和CD是圆O的两条弦，AB与CD相交于点E，且4CEDE，:4:1AEBE，则AE______；ACBD______.解析：,4BExAEx，根据相交弦定理，2,416,2BEAEAFBFxx，所以AE=8；4~22ACCEACEBDEBDBE12．执行如图所示的程序框图，输出的a值为______．解析：第一次循环2,2ai；第二次循环1,33ai；第三次循环1,42ai；第CD.OEBA开始a=3,i=1i1011aaai=i+1结束输出a是否；所以程序是个周期循环数列，2,10ai；1,113ai，输出结果13a。13.设抛物线24Cyx：的焦点为F，M为抛物线C上一点，(2,2)N，则||||MFMN的取值范围是.解析：抛物线的焦点(1,0)F,根据抛物线的定义MFMA,当A,M,N三点共线的时候||||MFMN有最小值即3AN;所以||||MFMN的取值范围是[3,+)。14.已知f是有序数对集合**{(,)|,}MxyxyNN上的一个映射，正整数数对(,)xy在映射f下的象为实数z，记作(,)fxyz=.对于任意的正整数,()mnmn，映射f由下表给出：(,)xy(,)nn(,)mn(,)nm(,)fxynmn-mn+则(3,5)f=__________，使不等式(2,)4xfx≤成立的x的集合是_____________.解析：3,5(,)()(3,5)358nmnmmnf；*,2,2,;(,)()24xxxxNxmnxmnmnx即24,1,2xxxx时成立，所以不等式(2,)4xfx≤成立的x的集合是{1,2}三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy中，点(cos,2sin)A，(sin,0)B，其中R.（Ⅰ）当2π3时，求向量AB的坐标；（Ⅱ）当π[0,]2时，求||AB的最大值.16．（本小题满分13分）高考高频考点尽在易题库为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望.17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABCP中，PA底面ABC，ACBC，H为PC的中点，M为AH的中点，2PAAC，1BC.（Ⅰ）求证：AH平面PBC；（Ⅱ）求PM与平面AHB成角的正弦值；（Ⅲ）设点N在线段PB上，且PNPB，//MN平面ABC，求实数的值.18．（本小题满分13分）已知函数12e()44xfxaxx，其中aR.（Ⅰ）若0a，求函数()fx的极值；（Ⅱ）当1a时，试确定函数()fx的单调区间.ABCPHM．（本小题满分14分）设,AB是椭圆22:143xyW上不关于坐标轴对称的两个点，直线AB交x轴于点M（与点,AB不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）如果点M是椭圆W的右焦点，线段MB的中点在y轴上，求直线AB的方程；（Ⅱ）设N为x轴上一点，且4OMON，直线AN与椭圆W的另外一个交点为C，证明：点B与点C关于x轴对称.20．（本小题满分13分）在无穷数列{}na中，11a，对于任意*nN，都有*naN，1nnaa.设*mN，记使得nam≤成立的n的最大值为mb.（Ⅰ）设数列{}na为1，3，5，7，，写出1b，2b，3b的值；（Ⅱ）若{}nb为等差数列，求出所有可能的数列{}na；（Ⅲ）设paq，12paaaA，求12qbbb的值.（用,,pqA表示）北京市西城区2014年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2014.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D2．B3．A4．D5．B6．B7．C8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．2010．223π4．8212．1313．[3,+)14．8{1,2}注：第10，11，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得(sincos,2sin)AB，………………2分当2π3时，2π2π13sincossincos332，………………4分2π62sin2sin32，所以136(,)22AB.………………6分（Ⅱ）解：因为(sincos,2sin)AB，所以222||(sincos)(2sin)AB………………7分21sin22sin………………8分1sin21cos2………………9分π22sin(2)4.………………10分因为π02≤≤，所以ππ5π2444≤≤.………………11分所以当π5π244时，2||AB取到最大值22||22()32AB，……12时，||AB取到最大值3.………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：A班5名学生的视力平均数为A4.3+5.1+4.6+4.14.9==4.65x，…………2分B班5名学生的视力平均数为B5.1+4.9+4.0+4.04.5==4.55x.………………3分从数据结果来看A班学生的视力较好.………………4分（Ⅱ）解：B班5名学生视力的方差较大.………………7分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，A班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X的所有可能取值为0，1，2.………………8分所以3335C1(0)C10PX；………………9分213235CC3(1)C5PX；………………10分123235CC3(2)C10PX.………………11分所以随机变量X的分布列如下：X01211035310………………12分P()012105105EX.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为PA底面ABC，BC底面ABC，所以PABC，………………1分又因为ACBC，PAACA，所以BC平面PAC，………………2分又因为AH平面PAC，所以BCAH.………………3分因为，ACPAH是PC中点，所以AHPC，又因为PCBCC，所以AH平面PBC.………………5分（Ⅱ）解：在平面ABC中，过点A作，BCAD//因为BC平面PAC，所以AD平面PAC，由PA底面ABC，得PA，AC，AD两两垂直，所以以A为原点，AD，AC，AP所在直