2016考研公共课数学三完整版真题及答案解析下载

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案12016年全国硕士研究生招生考试数学(三)试题及答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)设函数()yfx在（，）内连续，其导函数的图形如图所示：则()(A)函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有2个拐点(B)函数()fx有2个极值点，曲线()yfx有3个拐点(C)函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有1个拐点(D)函数()fx有3个极值点，曲线()yfx有2个拐点【答案】(B)【解析】在1x点左右邻域内一阶导函数异号，根据极值的第一充分条件可以判断该点是极值点，同理，3x也是极值点；在2x点左右两侧一阶导函数同号，所以不是极值点，同理，5x也不是极值点；故共有2个极值点.在2x点左右两侧二阶导函数异号，所以))(,(22xfx是拐点，同理))(,()),(,(5544xfxxfx也是拐点，故共有3个拐点.(2)已知函数(,)xefxyxy，则()(A)''0xyff(B)''0xyff2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案2(C)''xyfff(D)''xyfff【答案】(D)【解析】2)()(yxeyxefxxx，2)(yxefxy，fyxeffxyx.(3)设3(1,2,3)iiDJxydxdyi，其中1(,)|01,01Dxyxy，2(,)|01,0Dxyxyx，23(,)|01,1Dxyxxy，则()(A)123JJJ(B)312JJJ(C)231JJJ(D)213JJJ【答案】(B)【解析】先分析21JJ，由于在21JJ的积分区域上03yx，所以，021JJ，21JJ；再分析31JJ，由于在31JJ的积分区域上03yx，所以031JJ，31JJ，故213JJJ.(4)级数为111()sin()1nnknn，（k为常数）()(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与k有关【答案】(A)【解析】由于111)sin()111(nnknnn，且1)111(1nnn，所以)()111(1kninsnnn绝对收敛.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案3(5)设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是()(A)TA与TB相似.(B)1A与1B相似..(C)TAA与TBB相似.(D)1AA与1BB相似.【答案】（C）【解析】A与B相似，即存在可逆矩阵P，使1PAPB，则111111TTTTTTTTTTTBPAPPAPPAPPAP，即（A）是正确说法；111111111BPAPPAPPAP，进一步有111111BBPAPPAPPAAP，即（B）（D）都是正确说法；故选（C）.(6)设二次型222123123122313f(x,x,x)=a(x+x+x+2xx+2xx+2xx）的正负惯性指数分别为1,2，则()(A)a1(B)a-2(C)-2a1(D)a=1或a=-2【答案】（C）【解析】二次型123,,fxxx对应的矩阵111111aAaa，由2111121011aEAaaaa得，A的特征值为1232,1aa，由于123,,fxxx的正、负惯性指数为1,2，且正、负惯性指数恰好等于特征值中正、负数的个数，所以20a且10a，即21a.故选（C）.(7)设A、B为两个随机事件，且0P(A)1,0P(B)1,如果1PAB(|),则()(A)PBA(|)12016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案4(B)PAB(|)0(C)PAB()1(D)PBA(|)1【答案】（A）【解析】因为,1)|(BAP,)()()|(BPABPBAP可得)()(BPABP1)(1)(1)(1)()()(1)(1)(1)()()()()|(APAPAPABPBPAPAPBAPAPBAPAPABPABP(8)设随机变量X与Y相互独立，且)2,1(~NX，)4,1(~NY则DXY()(A)6(B)8(C)14(D)15【答案】（C）【解析】因为)2,1(~NX，)4,1(~NY4)(,2)(,1)(,1)(YDXDYEXE，3)()()(22XEXDXE，5)()()(22YEYDYE因为X，Y相互独立，所以有14)]()([)()()]([)()(222222YEXEYEXEXYEYXEXYD二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)已知函数fx满足301sin21lim21xxfxxe，则0limxfx_____【答案】6.【解析】3000011()sin2()sin21()sin21122limlimlimlim()2313322xxxxxfxxfxxfxxfxexx，2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案5故0lim()6xfx.(10)极限2112limsin2sinsinnnnnnnn_____.【答案】sin1cos1.【解析】原式2111limsinlimsinnnnniiiiiinnnnn11001100sincos(coscos)sin1cos1.xxdxxdxxxxdx(11)设函数,fuv可微，,zzxy由方程221,xzyxfxzy确定，则0,1|_____.dz【答案】2dxdy.【解析】将(0,1)代入方程22(1)(,)xzyxfxzy得1z.令22(,,)(1)(,)0Fxyzxzyxfxzy由二元隐函数存在定理得，21212(,),1xzFzxfxzyxfzxxxfF则(0,1)1zx，222121yzFyxfzyFxxf，则(0,1)2zy.故(0,1)2dzdxdy.(12)设,1,11Dxyxyx则22yDxedxdy_____.【答案】12(1)3e.【解析】222112220022yyyyDDxedxdyxedxdydyxedx2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案6222221133001122120001223311(())3312(1).3yyyyyeydyeydyydeyeedye(13)行列式100010_____.0014321【答案】432234【解析】4142100100000104(1)103(1)0100010101432143442310102(1)00(1)(1)01432(1)00100432234.(14)设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为.【答案】29【解析】22132112()339PCC.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)求极限410lim(cos22sin)xxxxx.【解析】2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案74043244340444011limcos22sin101112(2)2124!3!lim13lim13limcos22sinxxxxxxxxxxxxoxxxoxxxoxxxxxeeee(16)(本题满分10分)设某商品最大需求量为1200件，该商品的需求函数()QQp，需求弹性0,120ppp为单元价（万元）(I)求需求函数的表达式。(II)求100p万元时的边际收益，并说明其经济意义。【解析】(I)因)0(120pp，则QpQ即)120(120pCQpdpQdQ，其中C为任意常数。又该商品的最大需求量为1200件，则1200,0Qp10C，则)120(10pQ(II)收益函数)120(10)(pppQpR，则800100PR经济意义：当100p时，每增加1万元，收益将减少800万元。(17)(本题满分10分)设函数1220()(0)fxtxdtx，求()fx并求()fx的最小值。【解析】122220322()41,3342221,xxfxxtdttxdtxxfxxxxx2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案8令'0fx可得102xx，且当10,2x时，'0fx；当1,2x时，'0fx，从而fx在12处取极小值且为最小值1124f。(18)(本题满分10分)设函数()fx连续，且满足00()()()1xxxfxtdtxtftdte，求()fx。【解析】令,xtudtdu所以00()()xxfxtdtfudu则可以得到:000()()()1xxxxfuduxftdttftdte等式两边同时求导可得:0()()xxfxftdte从而有(0)1f再对等式两边同时求导,()()xfxfxe利用通解公式可得:(1)(1)1()()2dxdxxxxfxeeedxCeCe由(0)1f,可得12C所以11()22xxfxee.(19)(本题满分10分)求幂级数220(1)(21)nnxnn的收敛域及和函数。【解析】设21()(21)nnxuxnn，则22221()(1)(21)limlimlim()(21)nnnnnnnxuxnnxuxxnn，当21x，即11x时，0()nnux绝对收敛；2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题及答案9当1x，即1x时，001()(21)nnnuxnn收敛，故收敛域为[1,1].设222200()2(1)(21)(22)(21)nnnnxxsxnnnn，[1,1]x当(1,1)x时，2222220002()222(22)(21)(22)(21)1nnnnnnxxsxxnnnnx，则2021()(0)ln11xxsxdxsxx，01()ln(0)1xxsxdxsx0001lnln1ln11xxxxdxxdxxdxx0000ln1ln111xxxxxxxxdxxxdxxx21lnln11xxxx当1x时，2111(1)limlnln1limln1ln1ln1ln1