2013年普通高等学校招生全国统一考试(·陕西卷·压轴卷)文科数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.已知集合{1,0,1},{||1|,}ABxxaaA,则AB中的元素的个数为A.0B.1C.0,1D.0,1,22.复数i1i31的共轭复数是A.131322iB.1313.22iC.131322iD.131322i3.下列函数一定是偶函数的是A.cos(sin)yxB.sincosyxxC.coslnyxD.cossinyxx4.已知向量ba,满足||1,(1,3)ab,且baa,则a与b的夹角为A.60B.90C.120D.1505.已知q是等比数列{}na的公比,则“1q”是“数列{}na是递减数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是124,则判断框①处应填入的条件是A.2nB.3nC.4nD.5n7一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.9B.10C.11D.2328.已知ABC的面积为2,在ABC所在的平面内有两点PQ、,满足0,PAPCQAQBQCBC,则APQ的面积为A.12B.23C.1D.29.直线30xy截圆2224xy所得劣弧所对的圆心角是A.6B.3C.2D.2310.函数ln1yx的图像与函数2cos24yxx的图像所有交点的横坐标之和等于A.8B.6C.4D.2二。填空题:把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.已知双曲线22221xyab的一个焦点与抛线线212yx的焦点重合,且双曲线的离心率等于32,则该双曲线的方程为.12.“公差为d的等差数列数列na的前n项的和为nS,则数列nSn是公差为2d的等差数列”,类比上述性质有:“公比为q的等比数列数列nb的前n项的和为nT,则数列___________________________”.13.若yx,满足条件,001532,0653yyxyx,当且仅当3yx时,yaxz取最小值,则实数a的取值范围是______.14.定义域R的奇函数()fx,当(,0)x时()'()0fxxfx恒成立,若3(3)af,(log3)(log3)bf,22cf,则,,abc的大小关系为___。15.A(不等式选做题)若存在实数x满足不等式235xxmm则实数m的取值范围是。15.B(几何证明选做题)在△ABC中,D是边AC的中点,点E在线段BD上,且满足13BEBD,延长AE交BC于点F,则BFFC的值为_____.15.C(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C的参数方程为1xtyt(t为参数),曲线2C的极坐标方程为sincos3,则1C与2C交点在直角坐标系中的坐标为____。三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)16.已知函数2()3sincossin(0,0)2222xxxfx.其图象的两个相邻对称中心的距离为2,且过点(,1)3.(I)函数()fx的解析式;(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知222222sin2sinsinCbacACcab.且132fA,求角C的大小.17.在等比数列{}na中,已知13a,公比1q,等差数列{}nb满足1142133bababa,,.(Ⅰ)求数列{}na与{}nb的通项公式;(Ⅱ)求数列nnab的前n项和.18.已知直角梯形ABCD中,//ADBC,122ADABBC,90ABC,PAB是等边三角形,平面PAB⊥平面ABCD.(Ⅰ)求证:BDDC;(Ⅱ)求三棱锥PBCD的体积.19.2013年1月份以来,我国北方部分城市出现雾霾天气,形成雾霾天气主要原因与2.5PM有关.2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.2.5PM日均值越小,空气质量越好.2012年2月29日,国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表:2.5PM日均值k(微克)空气质量等级35k一级3575k二级75k超标某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况,在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的2.5PM日均值作为样本,样本数据茎叶图如上右图所示(十位为茎,个位为叶).(Ⅰ)分别求出甲、乙两市2.5PM日均值的样本平均数,并由此判断哪个市的空气质量较好;(Ⅱ)若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据,求恰有一天空气质量超标的概率.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,且椭圆C上一点与两个焦点构成的三角形的周长为222.(I)求椭圆C的方程;(II)设过椭圆C右焦点F的动直线l与椭圆C交于AB、两点,试问:在x轴上是否存在定点M,使716MAMB成立?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.21.已知函数()lnfxx,2()()gxfxaxbx,函数()gx的图象在点(1,(1))g处的切线平行于x轴.(I)确定a与b的关系;(II)若0a,试讨论函数()gx的单调性;(III)设斜率为k的直线与函数()fx的图象交于两点1122(,),(,)AxyBxy,(12xx)证明:2111kxx.【参考答案】1.B【解析】{||1|,}0,1,2,BxxaaA所以0,1AB.2.B【解析】131131313i,1i22iii所以其共轭复数为1313.22i3.A【解析】由偶函数定义可知,函数cos(sin)yx中,x的定义域关于原点对称且cos(sin())cos(sin)xx.4.C【解析】由aab得20aab,112cos0,所以120.5.D【解析】由数列{}na是递减数列可得01q,因此“1q”是“数列{}na是递减数列”的既不充分也不必要条件。6.C【解析】由框图的顺序,0,1,0111,snssnn依次循环1226s,3n,注意此刻33仍然为否,633274sn,注意到44仍然为否,此刻输出2744124,s5.n7.C【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形高是3的直四棱柱的基础上截去一个底面积为12112高为3的三棱锥形成的,所以43111.V8.B【解析】由0PAPC知P为ABC的边AC的中点.因为QAQBQCBCQCQB,所以20QAQB,Q为ABC的边AB的三等分点(靠近点B).于是2111112.3223233APQABABABCSABhABhS9.D【解析】圆心2,0到直线30xy的距离为212d,所求的圆心角为22.3310.B【解析】画出两函数图象可知均关于直线1x对称,所以在4,2内所有交点横坐标之和为.63211.22145xy【解析】抛线线212yx的焦点22(3)9ab,0.325.2ceaba12.nnT是公比为q的等比数列【解析】nnnnbbbT121)(nnnqb11211)(1112)1(1)(nnnnnqbqb,∴nnT是公比为q的等比数列。1353,32【解析】画出可行域,得到最优解3,3,把yaxz变为zaxy,即研究z的最大值。当53,32a时,zaxy均过3,3且截距z最大。14.acb【解析】设()()gxxfx,依题意得()gx是偶函数,当(,0)x时()'()0fxxfx,即'()0gx恒成立,故()gx在(,0)x单调递减,则()gx在(0,)上递增,3(3)(3)afg,(log3)(log3)(log3)bfg,2(2)(2)(2)cfgg.又log3123,故acb.15.A(,1)(2,)【解析】min352xx,所以22mm,2m或1.m15.B14【解析】过点D作DMAF交BC于点M,则FMMC,又1,2BFBEFMED所以2,4,FMBFFCBF即BFFC1.415.C)5,2(【解析】2C为3xy,所以31tt,解得,4t因此52yx.16.【解析】(Ⅰ)[]31()sin()1cos()22fxxxwjwj=++-+π1sin()62xwj=+-+.Q两个相邻对称中心的距离为π2,则πT=,2ππ,0,=2||=\Q,又()fx过点π(,1)3,2ππ1π1sin1,sin36222jj骣骣鼢珑\-++=+=鼢珑鼢珑桫桫即,1cos2j\=,πππ10,,()sin(2)2362fxxjj\=\=++Q.(Ⅱ)在△ABC中,222222sin2coscosBsincos2sinsin2coscossincosCbacacBcCBACabCbCBCcab,因为sin0C,所以sincos2sincossincosBCABCB,所以2sincossincossincossin()sinABBCCBBCA,因为sin0A,所以1cos2B,因为0πB,所以π3B.而由132fA得4A,所以5.4312C17.【解析】(Ⅰ)设等比数列na的公比为q,等差数列nb的公差为d.由已知得:2323,3qaqa,dbdbb123,23,313413411123333322qdqdqdqdq或1q(舍去),所以,此时2d所以,nna3,12nbn.(Ⅱ)设(21)3nnnncabn,nncccS21123335373...213nn,23413335373...213nnSn两式相减得1231233233...3213nnnSn,所以13.nnSn18.【解析】(Ⅰ)∵2AD,2AB,45ADABADBDBC过D作DMBC,垂足为M,则2DMABMC∴45DCM,∴90BDCo,∴BDDC.(Ⅱ)2116433(22)223233PBCDV.19.【解析】(Ⅰ)甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85;乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.344267717985636x甲,314845657386586x乙.因为xx甲乙,所以乙市的空气质量较好.(Ⅱ)由茎叶图知,甲市6天中有4天空气质量未超标,有2天空气质量超标,记未超标的4天数据为,,,abcd,超标的两天数据为,mn,则6天中抽取两天的所有情况为:,,,,,,,,,,,,,,abacadamanbcbdbmbncdcmcndmdnmn,基本事件总数为15.记“恰有一天空气质量超标”为事件A,则事件A包含的基本事件为:,,,,,,,ambmcmdmanb