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1第3讲数列的综合问题1．(2015·湖南)已知a＞0，函数f(x)＝eaxsinx(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点，证明：数列{f(xn)}是等比数列．2．(2014·课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明{an＋12}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明1a1＋1a2＋…＋1an32.21.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一利用Sn，an的关系式求an1．数列{an}中，an与Sn的关系：an＝S1n＝Sn－Sn－1n.2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．例1数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且满足2ananSn－S2n＝1(n≥2)．求数列{an}的通项公式．思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为3an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝anan＋4，则数列{an}的通项公式是________．热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．例2已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；(3)不等关系证明中进行适当的放缩．跟踪演练2(2015·安徽)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标．(1)求数列{xn}的通项公式；4(2)记Tn＝x21x23…x22n－1，证明：Tn≥14n.热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．例3自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．思维升华常见数列应用题模型的求解方法5(1)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间n的总产值y＝N(1＋p)n.(2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋r)n.(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a元，每期的利率为r，存期为n，则本利和y＝a(1＋nr)．(4)分期付款模型：a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b＝r＋rna＋rn－1.跟踪演练3某年“十一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是()A．211－47B．212－57C．213－68D．214－80已知数列{an}和{bn}，对于任意的n∈N*，点P(n，an)都在经过点A(－1,0)与点B(12，3)的直线l上，并且点C(1,2)是函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的图象上一点，数列{bn}的前n项和Sn＝f(n)－1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求证：数列{1an·lnbn＋1}的前n项和Tn12ln2.提醒：完成作业专题四第3讲6二轮专题强化练专题四第3讲数列的综合问题A组专题通关1．(2015·成都外国语学校月考)已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0)，则数列{an}()A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于()A．15B．12C．－12D．－153．(2015·日照一模)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn等于()A．6n－n2B．n2－6n＋18C.6n－n2nn2－6n＋nD.6n－n2nn2－6nn4．(2015·成都七中高三上学期期中)今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织()尺布．(不作近似计算)()A.12B.815C.1629D.16315．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足fxgx＝ax，且f′(x)g(x)f(x)g′(x)，fg＋f－g－＝52，若有穷数列fngn(n∈N*)的前n项和等于3132，则n等于()A．5B．6C．7D．876．若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.7．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.9．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝2an－2n(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项an；(2)若数列{bn}满足bn＝log2(an＋2)，Tn为数列{bnan＋2}的前n项和，求证：Tn≥12.10．(2015·杭州质检)已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝1－14an，其中n∈N*.(1)设bn＝22an－1，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设cn＝4ann＋1，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn1cmcm＋1对于n∈N*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．8B组能力提高11．已知曲线C：y＝1x(x0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()A．x1，x32，x2成等差数列B．x1，x32，x2成等比数列C．x1，x3，x2成等差数列D．x1，x3，x2成等比数列12．记数列{2n}的前n项和为an，数列{1an}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn＝n－8，则bnSn的最小值为________．13．已知向量a＝(2，－n)，b＝(Sn，n＋1)，n∈N*，其中Sn是数列{an}的前n项和，若a⊥b，则数列{anan＋1an＋4}的最大项的值为________．14．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{Sn＋λn＋λ2n}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．9学生用书答案精析第3讲数列的综合问题高考真题体验1．证明f′(x)＝aeaxsinx＋eaxcosx＝eax(asinx＋cosx)＝a2＋1eaxsin(x＋φ)，其中tanφ＝1a，0＜φ＜π2.令f′(x)＝0，由x≥0得x＋φ＝mπ，即x＝mπ－φ，m∈N*，对k∈N，若2kπ＜x＋φ＜(2k＋1)π，即2kπ－φ＜x＜(2k＋1)π－φ，则f′(x)＞0；若(2k＋1)π＜x＋φ＜(2k＋2)π，即(2k＋1)·π－φ＜x＜(2k＋2)π－φ，则f′(x)＜0.因此，在区间((m－1)π，mπ－φ)与(mπ－φ，mπ)上，f′(x)的符号总相反．于是当x＝mπ－φ(m∈N*)时，f(x)取得极值，所以xn＝nπ－φ(n∈N*)．此时，f(xn)＝ea(nπ－φ)sin(nπ－φ)＝(－1)n＋1ea(nπ－φ)sinφ.易知f(xn)≠0，而fxn＋1fxn＝－n＋2ean＋－φ]sinφ－n＋1eanπ－φsinφ＝－eaπ是常数，故数列{f(xn)}是首项为f(x1)＝ea(π－φ)·sinφ，公比为－eaπ的等比数列．2．(1)解由an＋1＝3an＋1得an＋1＋12＝3(an＋12)．又a1＋12＝32，所以{an＋12}是首项为32，公比为3的等比数列．an＋12＝3n2，因此{an}的通项公式为an＝3n－12.(2)证明由(1)知1an＝23n－1.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以13n－1≤12×3n－1.10于是1a1＋1a2＋…＋1an≤1＋13＋…＋13n－1＝32(1－13n)32.所以1a1＋1a2＋…＋1an32.热点分类突破例1解由已知，当n≥2时，2ananSn－S2n＝1，所以Sn－Sn－1Sn－Sn－1Sn－S2n＝1，即Sn－Sn－1－Sn－1Sn＝1，所以1Sn－1Sn－1＝12.又S1＝a1＝1，所以数列{1Sn}是首项为1，公差为12的等差数列．所以1Sn＝1＋12(n－1)＝n＋12，即Sn＝2n＋1.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝－2nn＋.因此an＝1，n＝1，－2nn＋，n≥2.跟踪演练1an＝2n解析Sn＝anan＋4，当n＝1时，a1＝S1＝a1a1＋4，解得a1＝2或a1＝0(舍去)．当n≥2时，由an＝Sn－Sn－1＝anan＋4－an－1an－1＋4⇒a2n－a2n－1＝2(an＋an－1)，因为an0，所以an＋an－1≠0，则an－an－1＝2，所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，故an＝2n.例2解(1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象