天津市中考数学压轴题大集合

天津市中考数学压轴题大集合一、函数与几何综合的压轴题1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1)求证：E点在y轴上；(2)如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.(3)如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴,EODOEOBOABDBCDDB又∵DO′+BO′=DB∴1EOEOABDC∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵DOEODBAB，∴2316EODODBAB∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②图①C（1，-3）A（2，-6）BDOxEy图②C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxE′y天津市中考数学压轴题大集合联立①②得02xy∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组42632abcabcc解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。同（1）可得：1EFEFABDC得：E′F=2方法一：又∵E′F∥ABEFDFABDB，∴13DFDBS△AE′C=S△ADC-S△E′DC=11122223DCDBDCDFDCDB=13DCDB=DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′1132322BDEFkk∴S=3+k为所求函数解析式.证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴2213992AECABCDSSABCDBDk梯形∴S=3+k为所求函数解析式.2.（2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为22的圆与y轴交于A、D两点.（1）求点A的坐标；（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；天津市中考数学压轴题大集合（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若421hSS，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h.求这条抛物线的解析式.[解]（1）解：由已知AM＝2，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝122OMAM，∴点A的坐标为A（0，1）（2）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1令y＝0则x＝－1∴B（—1，0），AB＝2112222AOBO在△ABM中，AB＝2，AM＝2，BM＝2222224)2()2(BMAMAB∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线（3）解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝22，∴BC＝10)22()2(2222ACAB∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，∴25)210()2(221BCS而2)222()2(222ACS421hSS，5,4225hh　　　即　　设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物ABCDxM·y天津市中考数学压轴题大集合线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）由已知得5055c0b5544002cbaaabaccbacba　　或　　＝－　　　解得　∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线)0(2acbxaxy过点A、B，且顶点C在⊙P上.(1)求⊙P上劣弧⌒AB的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.[解]（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°⌒AB的长＝342180120（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝3.又OM=1，∴A（1－3，0），B（1＋3，0），由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则C(1，－3).ABCOxy·P（1，－1）ABCOxyP（1，－1）·M天津市中考数学压轴题大集合点A、B、C在抛物线上，则cbacbacba3)31()31(0)31()31(022解之得221cba抛物线解析式为222xxy（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又点D（0，－2）在抛物线222xxy上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分.4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，3）在y轴的正半轴上，A、B是x轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在x轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.[解](1)在Rt△ABC中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,3),∴2(3)3.OBOB∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为2.yaxbxcAyxBEFO1QOO2CBAEFO1QOO2yx2134NMPC天津市中考数学压轴题大集合则930,0,3.abcabcc解之，得3,323,33.abc∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为23233.33yxx(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA,∴△CMN∽△CAO.∴.MNCNAOCO∴3.33aa解之，得333.2a此时，四边形OPMN是正方形.∴333.2MNOP∴333(,0).2P考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故x轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且333(,0)2P或(0,0).P5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(415，823)，P是以AC为天津市中考数学压轴题大集合XOPDCABY对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)[解]（1）由题意，A(0，1)、C(4，3)确定的解析式为：y=21x+1.将点E的坐标E(415，823)代入y=21x+1中，左边=823，右边=21×415+1=823，∵左边=右边，∴点E在直线y=21x+1上，即点A、C、E在一条直线上.（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为aba442—，且P在矩形ABCD内部，∴1＜aba442—＜3，由1＜1—ab42得—ab42＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴21GO·AO—21FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=a1＜0，∴x1＜0＜x2，∴GO=x2，FO=—x1，∴x2—（—x1）=6，即x2+x1=6，∵x2+x1=—ab∴—ab=6，∴b=—6a,∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，XGFOPDECABY天津市中考数学压轴题大集合由方程组y=ax2—6ax+1y=21x+1得：ax2—（6a+21）x=0∴1＜1—9a＜3,∴—92＜a＜0.∴x=0或x=aa216=6+a21.当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：0＜6+a21≤415，解得：—92≤a＜—121综合得：—92＜a＜—121∵b=—6a，∴21＜b＜346.（2004湖南长沙）已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.（1）求⊙A的半径；（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.[解](1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝2(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45º可得：b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x又由r＝2，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x……6分(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在