2015高考数学真题-江苏

专注数学成就梦想年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学第Ⅰ卷（共160分）参考公式：圆柱的体积公式：VSh柱圆，其中S是圆柱的底面积，h为高．圆锥的体积公式：13VSh圆锥，其中S是圆锥的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．已知集合1,2,3A，2,4,5B，则集合AB中元素的个数为．2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为．3．设复数z满足234iz（i是虚数单位），则z的模为．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．6．已知向量2,1a，1,2b，若mnab9,8,mnR，则mn的值为．7．不等式224xx的解集为．8．已知tan2，1tan7，则tan的值为．9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为．10．在平面直角坐标系xOy中，以点1,0为圆心且与直线210mxymmR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．11．设数列na满足11a，且11nnaan*nN，则数列1na前10项的和为．12．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线221xy右支上的一个动点．若点P到直线10xy的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．1S1I8WhileI2SS3IIEndWhilePrintS专注数学成就梦想．已知函数lnfxx，20,0142,1xgxxx„，则方程1fxgx实根的个数为．14．设向量cos,sincos666kkkka0,1,2,,12k…，则11+10kkkaa的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）在ABC△中，已知2AB，3AC，60A．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．16．（本小题满分14分）如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，已知ACBC，1BCCC．设1AB的中点为D，11BCBCEI．求证：（1）DE∥平面11AACC；（2）11BCAB．17．（本小题满分14分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，EDA1B1C1CBA专注数学成就梦想计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为12,ll，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到12,ll的距离分别为5千米和40千米，点N到12,ll的距离分别为20千米和2.5千米，以12,ll所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数2ayxb（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式ft，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．18．（本小题满分16分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221xyab0ab的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于,AB两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点,PC，若2PCAB，求直线AB的方程．19．（本小题满分16分）已知函数32fxxaxb,abR．NMPCOl2l1lyxlPOCFBAyx专注数学成就梦想（1）试讨论fx的单调性；（2）若bca（实数c是与a无关的常数），当函数fx有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是33,31,,22，求c的值．20．（本小题满分16分）设1234,,,aaaa是各项为正数且公差为d0d的等差数列．（1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,ad，使得2341234,,,aaaa依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,ad及正整数,nk，使得351234,,,nnknknkaaaa依次成等比数列，并说明理由．专注数学成就梦想卷（共40分）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，在ABC△中，ABAC，ABC△的外接圆O的弦AE交BC于点D．求证：ABDAEB△△∽．B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知,xyR，向量11是矩阵10xy的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知圆C的极坐标方程为222sin404，求圆C的半径．D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）解不等式232xx…．CODEBA专注数学成就梦想【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分．请在相应区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图所示，在四棱锥PABCD﹣中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，2ABCBAD，2PAAD，1ABBC．（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．23．（本小题满分10分）已知集合1,2,3X，1,2,3,,nYn…*nN，设,nSaba整除b或b整除a，,naXbY，令fn表示集合nS所含元素的个数．（1）写出6f的值；（2）当6n…时，写出fn的表达式，并用数学归纳法证明．QDCBAP