江苏省南京市、盐城市2016届高三数学第二次模拟考试试题

1江苏省南京市、盐城市2016届高三数学第二次模拟考试试题数学本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．参考公式：锥体的体积公式：V＝13Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分．1.设集合A＝{x|－2x0}，B＝{x|－1x1}，则A∪B＝________．2.若复数z＝(1＋mi)(2－i)(i是虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________．3.将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为1的概率是________．4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图．若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________．(第4题图)(第5题图)5.执行如图所示的流程图，则输出的k的值为________．6.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于________．2(第7题图)7.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥AA1EF的体积是________．8.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的最小正周期为π，且它的图象过点－π12，－2，则φ的值为________．9.已知函数f(x)＝12x＋1，x≤0，－（x－1）2，x0，则不等式f(x)≥－1的解集是________．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是________．11．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，且BD→＝2DC→，AD＝273，则AC的长为________．12．已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．13．已知函数f(x)＝ax2＋x－b(a，b均为正数)，不等式f(x)0的解集记为P，集合Q＝{x|－2－tx－2＋t}．若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则1a－1b的最大值是________．14．若存在两个正实数x、y，使得等式x＋a(y－2ex)(lny－1nx)＝0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为________．二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)已知α为锐角，cosα＋π4＝55.(1)求tanα＋π4的值；(2)求sin2α＋π3的值．316.(本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.(第16题图)17.(本小题满分14分)如图，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB.问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？(第17题图)418.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，点C在椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)上．若点A(－a，0)，B0，a3，且AB→＝32BC→.(1)求椭圆M的离心率；(2)设椭圆M的焦距为4，P，Q是椭圆M上不同的两点，线段PQ的垂直平分线为直线l，且直线l不与y轴重合．①若点P(－3，0)，直线l过点0，－67，求直线l的方程；②若直线l过点(0，－1)，且与x轴的交点为D，求D点横坐标的取值范围．19.(本小题满分16分)对于函数f(x)，在给定区间[a，b]内任取n＋1(n≥2，n∈N*)个数x0，x1，x2，…，xn，使得a＝x0x1x2…xn－1xn＝b，记S＝∑n－1i＝0|f(xi＋1)－f(xi)|.若存在与n及xi(i≤n，i∈N)均无关的正数A，使得S≤A恒成立，则称f(x)在区间[a，b]上具有性质V.(1)若函数f(x)＝－2x＋1，给定区间为[－1，1]，求S的值；(2)若函数f(x)＝xex，给定区间为[0，2]，求S的最大值；(3)对于给定的实数k，求证：函数f(x)＝klnx－12x2在区间[1，e]上具有性质V.20.(本小题满分16分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn＋pn(p为常数，p≠0)．(1)求p的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn.若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn.密封线52016届高三年级第二次模拟考试(二)数学附加题本试卷总分40分，考试用时30分钟．21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.选修4­1：几何证明选讲如图，在Rt△ABC中，AB＝BC.以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连接AE交⊙O于点F.求证：BE·CE＝EF·EA.B.选修4­2：矩阵与变换已知a，b是实数，如果矩阵A＝3ab－2所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．(1)求a，b的值；(2)若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.C.选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsinπ3－θ＝32，椭圆C的参数方程为x＝2cost，y＝3sint(t为参数)．(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程；(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，求线段AB的长．D.选修4­5：不等式选讲解不等式：|x－2|＋x|x＋2|2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．622.(本小题满分10分)甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．23.(本小题满分10分)设(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n∈N*，n≥2.(1)设n＝11，求|a6|＋|a7|＋|a8|＋|a9|＋|a10|＋|a11|的值；(2)设bk＝k＋1n－kak＋1(k∈N，k≤n－1)，Sm＝b0＋b1＋b2＋…＋bm(m∈N，m≤n－1)，求|SmCmn－1|的值．密封线72016届高三年级第二次模拟考试(二)(南京、盐城市)数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程．)1.{x|－2x1}2.－23.11364.95.56.197.838.－π129.[－4，2]10.y＝±2x11.312.2－22，2＋2213.1214.a0或a≥1e二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)15.(本小题满分14分)解：(1)因为α∈0，π2，所以α＋π4π4，3π4，所以sinα＋π4＝1－cos2α＋π4＝255，(3分)所以tanα＋π4＝sinα＋π4cosα＋π4＝2.(6分)(2)因为sin2α＋π2＝sin2α＋π4＝2sinα＋π4cosα＋π4＝45，(9分)cos2α＋π2＝cos2α＋π4＝2cos2α＋π4－1＝－35，(12分)所以sin2α＋π3＝sin2α＋π2－π6＝sin2α＋π2cosπ6－cos2α＋π2sinπ6＝43＋310.(14分)16.(本小题满分14分)证：(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.(2分)因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(4分)(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.(6分)因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.(8分)因为平面PAB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，所以CM⊥平面PAB.(12分)因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.(14分)817.(本小题满分14分)解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy.设A(a，0)，B(0，b)(0a1，0b1)，则直线AB方程为xa＋yb＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为AB与圆C相切，所以|b＋a－ab|b2＋a2＝1.(4分)化简得ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2.(6分)因此AB＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2.(8分)因为0a1，0b1，所以0a＋b2，于是AB＝2－(a＋b)．又ab＝2(a＋b)－2≤a＋b22，解得0a＋b≤4－22，或a＋b≥4＋22.因为0a＋b2，所以0a＋b≤4－22，(12分)所以AB＝2－(a＋b)≥2－(4－22)＝22－2，当且仅当a＝b＝2－2时取等号，所以AB最小值为22－2，此时a＝b＝2－2.答：当A，B两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB最短．(14分)解法二：如图，连接CE，CA，CD，CB，CF.9设∠DCE＝θ，θ∈0，π2，则∠DCF＝π2－θ.在直角三角形CDA中，AD＝tanθ2.(4分)在直角三角形CDB中，BD＝tanπ4－θ2，(6分)所以AB＝AD＋BD－tanθ2＋tanπ4－θ2＝tanθ2＋1－tanθ21＋tanθ2.(8分)令t＝tanθ2，0t1，则AB＝f(t)＝t＋1－t1＋t＝t＋1＋21＋t－2≥22－2，当且仅当t＝2－1时取等号．(12分)所以AB最小值为22－2，此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－(2－1)＝2－2.答：当A，B两点离道路的交点都为2－2(百米)时，小道AB最短．(14分)18.(本小题满分16分)解：(1)设C(x0，y0)，则AB→＝a，a3，BC→＝x0，y0－a3.因为AB→＝32BC→，所以a，a3＝32(x0，y0－a3)＝(32x0，32y0－a2)，得x0＝23a，y0＝59a，(2分)代入椭圆方程得a2＝95b2.因为a2－b2＝c2，所以e＝ca＝23.(4分)(2)①因为c＝2，所以a2＝9，b2＝5，所以椭圆的方程为x29＋y25＝1，设Q(x0，y0)，则x209＋y205＝1.①(6分)因为点P(－3，0)，所以PQ中点为(x0－32，y02)，因为直线l过点0，－67，直线l不与y轴重合，所以x0≠3，所以y02＋67x0－32·y0x0＋3＝－1，(8分)10化简得x2＝9－y20－127y0.②将②代入①化