2015高考数学真题-全国1理科

专注数学成就梦想年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数z满足1i1zz，则z（）.A．1B．2C．3D．22.sin20cos10cos160sin10（）.A．32B．32C．12D．123.设命题:pnN，22nn，则p为（）.A．nN，22nnB．nN，22nn„C．nN，22nn„D．nN，22nn4.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）.A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3125.已知00,Mxy是双曲线22:12xCy上的一点，1F，2F是C的两个焦点，若120MFMF，则0y的取值范围是（）.A．33,33B．33,66C．2222,33D．2323,336.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）.A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛专注数学成就梦想△所在平面内一点，3BCCD，则（）.A．1433ADABACB．1433ADABACC．4133ADABACD．4133ADABAC8.函数cosfxx的部分图像如图所示，则fx的单调递减区间为（）.A．13,44kk，kZB．132,244kk，kZC．13,44kk，kZD．132,244kk，kZ9.执行右面的程序框图，如果输入的0.01t，则输出的n（）.A．5B．6C．7D．810.52xxy的展开式中，52xy的系数为（）.A．10B．20C．30D．6011.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620，则r（）.A．1B．2C．4D．812.设函数e21xfxxaxa，其中1a，若存在唯一的整俯视图正视图r2rr2r15414Oyx否是输出nSt?m=m2,n=n+1S=S-mS=1,n=0,m=12输入t开始结束专注数学成就梦想使得00fx，则a的取值范围是（）.A．3,12eB．33,2e4C．33,2e4D．3,12e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数2lnfxxxax为偶函数，则a.14.一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.15.若x，y满足约束条件10040xxyxy…„„，则yx的最大值为.16.在平面四边形ABCD中，75ABC，2BC，则AB的取值范围是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）nS为数列na的前n项和，已知0na，2243nnnaaS.（1）求na的通项公式；（2）设11nnnbaa，求数列nb的前n项和．18.（本小题满分12分）如图所示，四边形ABCD为菱形，120ABC，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，2BEDF，AEEC．专注数学成就梦想（1）求证：平面AEC平面AFC；（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量1,2,,8iyi数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw821iixx821iiww81iiixxyy81iiiwwyy46.65636.8289.81.61469108.8表中iiwx，8118iiww，（1）根据散点图判断，yabx与ycdx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系式0.2zyx，根据（2）的结果回答下列问题：①年宣传费49x时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？年销售量/t年宣传费/千元366206005805605405205004805654525048464442403834FEDCBA专注数学成就梦想附：对于一组数据11,uv22,uv，，,nnuv，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为121ˆniiiniiuuvvuu，ˆˆvu.20.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，曲线2:4xCy与直线:0lykxaa交于M，N两点.（1）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；（2）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数314fxxax，lngxx.（1）当a为何值时，x轴为曲线yfx的切线；（2）用min,mn表示m，n中的最小值，设函数min,hxfxgx0x，讨论hx零点的个数.专注数学成就梦想请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，BC交圆O于点E.（1）若D为AC的中点，求证：DE是圆O的切线；（2）若3OACE，求ACB的大小.23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C，2C的极坐标方程；（2）若直线3C的极坐标为4R，设2C与3C的交点为M，N，求2CMN△的面积.EDCOBA专注数学成就梦想（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12fxxxa，0a.（1）当1a时，求不等式1fx的解集；（2）若fx的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.