2015年湖南省衡阳市初三中考真题数学试卷

2015年衡阳市初中毕业学业水平考试试卷数学考生注意：1、本学科试卷共三道大题，满分120分，考试时量120分钟。2、本试卷的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框。直接在试卷上作答无效。一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．计算210的结果是（D）．A．-3B．1C．-1D．32．下列计算正确的是（A）．A．aaa2B．3332bbbC．33aaaD．725aa3．如下左图的几何体是由一个圆柱体和一个长方体组成的，则这个几何体的俯视图是（C）．A．B．C．D．4．若分式12xx的值为0，则x的值为（C）．A．2或-1B．0C．2D．-15．函数1xy中自变量x的取值范围为（B）．A．0xB．1xC．1xD．1x6．不等式组12xx的解集在数轴上表示为（B）．A．B．C．D．7．已知等腰三角形的两边长分别是5和6，则这个等腰三角形的周长为（D）．A．11B．16C．17D．16或178．若关于x的方程230xxa有一个根为-1，则另一个根为（B）．A．-2B．2C．4D．-39．下列命题是真命题的是（A）．A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形10．在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（C）．A．50元，30元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元11．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为（B）．A．10900xxB．10900xxC．1010900xD．210900xx12．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（C）．A．503B．51C．5031D．101二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．）13．在-1，0，-2这三个数中，最小的数是-2．14．如图，已知直线a∥b，∠1＝120°，则∠2的度数是60°．15．计算：822．16．方程132xx的解为1x．17．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为3（结果保留）．18．如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN＝20m，则池塘的宽度AB为40m．19．已知3ab，1ab，则22ab的值为-3．20．如图，△112ABA，△223ABA，△334ABA，…，△nnn1ABA，都是等腰直角三角形．其中点1A，2A，…，nA在x轴上，点1B，2B，…，nB，在直线yx上．已知1OA1，则2015OA的长为20142．三、解答题（本大题共8个小题，满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）21．（本小题满分6分）先化简，再求值22aabab，其中1a，2b．解：原式＝22222aabaabb[来源:学科网]＝222ab∵1a，2b∴222ab＝22＝4．22．（本小题满分6分）为了进一步了解义务教育阶段学生的体质健康状况，教育部对我市某中学九年级的部分学生进行了体质揣测．体质揣测的结果分为四个等级：优秀、良好、合格、不合格；根据调查结果绘制了下列两幅不完整．．．的统计图，请你根据统计图提供的信息回答以下问题：（1）在扇形统计图中，“合格“的百分比为40%．（2）本次体质抽测中，抽测结果为“不合格“等级的学生有16人．（3）若该校九年级有400名学生，估计该校九年级体质为“不合格“等级的学生约有128人．23．（本小题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，2）、B（3，5）、C（1，2）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的△AB2C2，点C2在AB上．①旋转角为多少度？②写出点B2的坐标．解：（1）△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示；（2）①由图可知，旋转角为90°；②点B2的坐标为（6，2）．24．（本小题满分6分）某校学生会正筹备一个“庆毕业”文艺汇演活动，现准备从4名（其中两男两女）节目主持候选人中，随机选取两人担任节目主持人，请用列表法或画树状图求选出的两名主持人“恰好为一男一女”的概率．解：画树状图如下所示：第一名主持人：男①男②女①女②第二名主持人：男②女①女②男①女①女②男①男②女②男①男②女①共有12种可能出现的结果，其中“恰好为一男一女”的有8种；∴P＝812＝23．25．（本小题满分8分）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物深度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间的函数关系如图所示（当410x时，y与x成反比）．（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？解：（1）由图象可知，当04x时，y与x成正比例关系，设ykx．由图象可知，当4x时，8y，∴48k，解得：2k；∴204yxx又由题意可知：当410x时，y与x成反比，设myx．由图象可知，当4x时，8y，∴4832m；∴32410yxx即：血液中药物浓度上升时204yxx；血液中药物浓度下降下32410yxx．（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升即：4y∴24x且324x，解得2x且8x；∴28x，即持续时间为6小时．26．（本小题满分8分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．解：（1）证明：连接OD，∵点C、D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝12∠BOD又∠BAD＝12∠BOD∴∠BOC＝∠BAD∴AE∥OC∵AD⊥EC∴OC⊥EC∴CE为⊙O的切线．（2）四边形AOCD是菱形；理由如下：∵点C、D为半圆O的三等分点∴∠AOD＝∠COD＝60°∵OA＝OD＝OC∴△AOD和△COD都是等边三角形∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD∴四边形AOCD是菱形．27．（本小题满分10分）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线1yx相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；[来源:学科网ZXXK]（3）把抛物线与直线yx的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？解：（1）∵点A是直线1yx与x轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线1yx上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）∵过点A、B的抛物线的顶点M在y轴上，故设其解析式为：2yaxc∴043acac，解得：11ac[来源:学科网ZXXK]∴抛物线的解析式为21yx．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：作BC⊥x轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；点M是抛物线21yx的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（m，2m），则其解析式为22yxmm．∵抛物线的不动点是抛物线与直线yx的交点，∴22xmmx化简得：222120xmxmm∴＝2221412mmm＝41m当410m时，方程222120xmxmm总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点∴14m．28．（本小题满分10分）如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t．（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小．解：（1）如图，作ME⊥x轴于点E，则∠MEP＝∠POC＝90°∵PM⊥CP，∴∠CPM＝90°；∴∠OPC＋∠MPE＝90°，∵∠OPC＋∠PCO＝90°∴∠MPE＝∠PCO，∵PM＝CP∴△MPE≌△PCO，∴PE＝CO＝4，ME＝PO＝t[来源:Zxxk.Com]∴OE＝4＋t；∴点M的坐标为（4＋t，t）．（2）线段MN的长度不变．理由如下：由题意知：OA＝OB＝4，∴点B坐标为（4，4），∴直线OB的解析式为yx∵MN∥OA，点M为（4＋t，t），点N的坐标为（t，t）∴MN＝4tt＝4，即线段MN的长度不变．（3）由（1）知：∠MPE＝∠PCO，又∠DAP＝∠POC＝90°∴△DAP∽△POC，∴ADAPOPOC，∵OP＝t，OC＝4，∴AP＝4－t∴AD4tt4，∴AD＝t4t4，[来源:学科网]∴BD＝t4t44＝2t4t164∵MN∥OA，AB⊥OA；∴MN⊥BD∵S四边形BNDM＝1MNBD2∴S＝21t2t82∵1t02，∴S有最小值，且当2t2122时，S最小值＝6．