2015年高考数学《新高考创新题型》之5：数列(含精析)

Gothedistance之5.数列（含精析）一、选择题。1．已知函数()121fxx，[0,1]x.定义：1()()fxfx，21()(())fxffx，……，1()(())nnfxffx，2,3,4,n满足()nfxx的点[0,1]x称为()fx的n阶不动点.则()fx的n阶不动点的个数是（）A.2n个B.22n个C.2(21)n个D.2n个2．函数f1（x）＝x3，f2（x）＝21412,[0,]21log,(,1]2xxxx，f3（x）＝1213,[0,]211,(,1]2xxx，f4（x）＝14|sin（2πx）|，等差数列{an}中，a1＝0，a2015＝1，bn＝|fk（an＋1）－fk（an）|（k＝1，2，3，4），用Pk表示数列{bn}的前2014项的和，则（）（创作：学科网“天骄工作室”A.P4＜1＝P1＝P2＜P3＝2B.P4＜1＝P1＝P2＜P3＜2C.P4＝1＝P1＝P2＜P3＝2D.P4＜1＝P1＜P2＜P3＝23．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n（nl，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则233445201320149999...aaaaaaaa=（）A．20122013B．20132012C．20102011D．201120124．已知函数f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b∈R,满足:f(a·b)=af(b)+bf(a),f(2)=2,an=(n∈N*),bn=(n∈N*).Gothedistance考察下列结论:①f(0)=f(1);②f(x)为偶函数;③数列{an}为等比数列;④数列{bn}为等差数列.其中正确的结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个5．对于各项均为整数的数列na，如果(1,2,3,)iaii为完全平方数，则称数列na具有“P性质”，如果数列na不具有“P性质”，只要存在与na不是同一数列的nb，且nb同时满足下面两个条件：①123,,,,nbbbb是123,,,,naaaa的一个排列；②数列nb具有“P性质”，则称数列na具有“变换P性质”，下面三个数列：①数列1，2，3，4，5；②数列1，2，3，，11,12；③数列na的前n项和为2(1)3nnSn.其中具有“P性质”或“变换P性质”的有()A．③B．①③C．①②D．①②③6．已知()fx与()gx都是定义在R上的函数，//()0,()()()()gxfxgxfxgx，且()()xfxagx(0a，且43，在有穷数列()(1,2,10)()fnngn中，任意取前k项相加，则前k项和大于1516的概率是（）A.35B.45C.25D.15（创作：学科网“天骄工作室”）二、填空题。7．在数列na中,*nN,若kaaaannnn112（k为常数）,则称na为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0．其中正确判断命题的序号是.（创作：学科网“天骄工作室”）8．若数列{}na满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有nTnaa成立，则称数列{}naGothedistance为周期数列，周期为T.已知数列{}na满足1(0)amm，11,1=1,01.nnnnnaaaaa，现给出以下命题：①若34a，则m可以取3个不同的值②若2m，则数列{}na是周期为3的数列③T*N且2T，存在1m，{}na是周期为T的数列④Qm且2m，数列{}na是周期数列.其中所有真命题的序号是.9．已知数列{}na(*nN)，其前n项和为nS，给出下列四个命题：①若{}na是等差数列，则三点10(10,)10S、100(100,)100S、110(110,)110S共线；②若{}na是等差数列，且111a，376aa，则1S、2S、…、nS这n个数中必然存在一个最大者；③若{}na是等比数列，则mS、2mmSS、32mmSS(*mN)也是等比数列④若11nnSaqS(其中常数10aq)，则{}na是等比数列；⑤若等比数列{}na的公比是q(q是常数),且11,a则数列2{}na的前n项和2211nnqqs.（创作：学科网“天骄工作室”）其中正确命题的序号是.(将你认为正确命题的序号．．都填上)10．已知数列na满足10,kNnknann，给出下列命题：①当21k时，数列na为递减数列②当121k时，数列na不一定有最大项③当210k时，数列na为递减数列Gothedistance④当kk1为正整数时，数列na必有两项相等的最大项请写出正确的命题的序号.（创作：学科网“天骄工作室”）三、解答题。11．设数列na满足：①11a；②所有项Nna；③1211nnaaaa．设集合N,|mmanAnm，将集合mA中的元素的最大值记为mb．换句话说，mb是数列na中满足不等式man的所有项的项数的最大值．我们称数列nb为数列na的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；（2）设13nna，求数列na的伴随数列nb的前20之和；（3）若数列na的前n项和2nSnc（其中c常数），求数列na的伴随数列mb的前m项和mT．12．已知数列na是等差数列，其前n项和为Sn，若410S，1391S．（1）求nS；（2）若数列{Mn}满足条件：11tMS，当2n≥时，nntMS－1ntS，其中数列nt单调递增，且11t，ntN．①试找出一组2t，3t，使得2213MMM；②证明：对于数列na，一定存在数列nt，使得数列nM中的各数均为一个整数的平方．Gothedistance13．数列na满足)(2212,2111Nnanaaannnnn.（1）设nnnab2，求数列nb的通项公式.（2）设111nnannc，数列nc的前n项和为nS，不等式nSmm41412对一切Nn成立，求m的范围.14．已知等差数列}{na中，21a，公差3d；数列}{nb中，nS为其前n项和，满足：)(212NnSnnn（Ⅰ）记11nnnaaA，求数列nA的前n项和S；（Ⅱ）求证：数列}{nb是等比数列；（Ⅲ）设数列}{nc满足nnnbac，nT为数列}{nc的前n项积，若数列}{nx满足121ccx，且)2(1211nNnTTTTTxnnnnnn，，求数列}{nx的最大值.15．已知{}na为单调递增的等比数列，且1852aa，3243aa，nb是首项为2，公差为d的等差数列，其前n项和为nS.（1）求数列{}na的通项公式；（2）当且仅当42n，*Nn，22log4nnadS成立，求d的取值范围.GothedistanceGothedistance1．D.【解析】函数12,02()121122,12xxfxxxx，当1[0,]2x时，1()20fxxxx，当1(,1]2x时，12()223fxxxx，∴1()fx的1阶不动点的个数为2，当1[0,]4x，1()2fxx，2()40fxxxx，当11(,]42x，1()2fxx，22()245fxxxx，当13(,]24x，1()22fxx，22()423fxxxx，当3(,1]4x，1()22fxx，24()445fxxxx，∴2()fx的2阶不动点的个数为22，以此类推，()fx的n阶不动点的个数是2n个.仿前可知，P4＝2[f4（a504）－f4（a1）＋f4（a505）－f4（a1008）]＜2（14sin2－14sin0＋14sin2Gothedistance－14sinπ）＝1故P4＜13．A【解析】试题分析：由已知，23453321633193411235131naaaaan（），（），（），（）（），数列{}na是首项为3，公差为3的等差数列，通项为312nann（）（）；所以111113131()91nnaannnn（），则233445201320149999...aaaaaaaa=1112012911201220132013201111192233（）．故答案为A．4．C【解析】令0)0(,0fba,再令0)1()1()1()1(,1ffffba,所以有f(0)=f(1)知①正确;令0)1()1(2)1(,1fffba,从而令)()()1()(,1,xfxfxfxfbxa故知f(x)为奇函数,故知②错误;对于③,由于f(2)=2,所以8)2(2)2(2)22()4(ffff;从而8))4(2)2(4(313)2(,42)2(,2)2(33221fffafafa,猜想321,,aaa…，成等比数列且nna2,用数学归纳法可证明此结论:对于n=1时，猜想显然成立；假设当kn时，猜想正确，即kkkkfa2)2(，从而kkkf2)2(，那么当1kn时，1)2(2)2(21)2(11kffkfakkkk1212222kkkkk这就是说当1kn时猜想也成立，故nna2，故③正确;对于④,因为Gothedistance6．A【解析】()()xfxagx可知()fx,()gx同号由()()xfxagx得()()xfxagx又(1)(1)5(1)(1)2ffgg得152aa解得a=12或a=2①a=12时，()()nfnagn=12n可知()()fngn是以首项为12，公比为12的等比数列，则前k项和为kS11(1())22112k=11()2k令11()2k1516解得K=5所以前五项相加和才大于1516②a=2时，()()nfnagn=2n可知()()fngn是以首项为2公比为2的等比数列则前k项和GothedistancekS2(12)12k=122k显然k=1时21516.联立①②得概率为15631010105.故选A7．①④【解析】由等差比数列的定义可知，等差比数列的公比不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列；当{}na是等比数列时，当公比1q时，{}na不是等差比数列；数列0,1,0,1是公比为1等差比数列，该数列中有无数多个0。8．①②③【解析】对于①，根据条件，当m＞2时，有a2＝m－1＞1，a3＝m－2，于是m－2＝4，有m＝6满足条件；当m∈（1，2]时，有a2＝m－1∈（0，1]，则a3＝11m，于是11m＝4，m＝54满足条件；若m＝1，则an＝1恒成立，不可能有a3＝4，当m∈（0，1）时，有a2＝1m＞1，a3＝1m－1，于是1m－1＝4，m＝15满足条件.故①正确.对于②，逐个推导可得：a1＝2，a2＝2－1，a3＝12121，a4＝2，是周期为3的周期数列.故②正确对于③，要想使得{an}是周期为T的周期数列，因为m＞1，故只需使得aT＝1m，则aT＋1＝m，而m＞1，可使得aT＝m－（T－1），即m－（T－1）＝1m，于是m2－（T－1）m－1＝0，该关于