2017北京自主招生数学模拟试题下载(附答案解析)

考单招——上高职单招网一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3ii（i为虚数单位）等于A.13iB.13iC.13iD.13i答案：A2．．设UR，{|0}Axx，{|1}Bxx，则()UABð()A．{|01}xxB．{|01}xxC．{|0}xxD．{|1}xx答案：B【解析】对于1UCBxx，因此UABð{|01}xx．3．幂函数()fxx的图像经过点)21,4(，则1()4f的值为()．A．4B．3C．2D．1答案：C4．直线20axya与圆229xy的位置关系是A．相离B．相交C．相切D．不确定答案:B5.等比数列123{},4,2,nnanSaaa的前项和为且成等差数列.若141,aS则=（）A．7B．8C．15D．16考单招——上高职单招网答案:C6.在ABC中，角,,ABC的对边边长分别为3,5,6abc，则coscoscosbcAcaBabC的值为（）A．38B．37C．36D．35答案D解析：由余弦定理得：coscoscosbcAcaBabC222222222222bcacababcbccaabbccaab2222bca22222222235222cababcabc，故选D.7.已知点P是以F1、F2为左、右焦点的双曲线22221(0,0)xyabab左支上一点，且满足12PFPF，且12:2:3PFPF，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C.5D.13解：由1212||2||||2,||3PFPFPFaPF得21||6,||4;PFaPFa在222222121212||||||43616,RTPFFFFPFPFcaa中，，解得13e8．设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝(12)x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是()w_ww.k#s5_u.co*m(A)(1,2)(B)(2，＋∞)(C)(1,34)(D)(34,2)w_w_w.k解析：由f(x－2)＝f(x＋2)，知f(x)是周期为4的周期函数于是可得f(x)在(－2,6]上的草图如图中实线所示而函数g(x)＝loga(x＋2)(a＞1)的图象如图中虚线所示结合图象可知，要使得方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)－20246xy3y＝loga(x＋2)考单招——上高职单招网在区间(－2，6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需(2)3(6)3gg所以g4383aalolog解得：34＜a＜2w_w_w.k*s5*u.co^m答案：Dw_ww.k#s5_u.co*m二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分.9．某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人.现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高级教师的人数为答案:310.如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子高h=．答案：8cm11.若P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则的值恒为)(ACABAP考单招——上高职单招网答案:612．已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x,y)值依次记为(x1,y1)，(x2,y2)，……(xn,yn)，……(1)若程序运行中输出的一个数组是(,t)，则t=；(2)程序结束时，共输出(x,y)的组数为答案：，100513．已知数列{}na的通项公式为(21)2nnan，我们用错位相减法求其前n项和nS：由23123252(21)2nnSn…得23412123252(21)2nnSn…两式项减得：2312222222(21)2nnnSn…，94开始x=1,y=0,n=1输出(x,y)n=n+2x=3xy=y–2n2009结束NY考单招——上高职单招网(23)26nnSn。类比推广以上方法，若数列{}nb的通项公式为22nnbn，则其前n项和nT。答案：14.(坐标系与参数方程选做题)已知圆M的极坐标方程为242cos()604，则的最大值为答案:3215.（几何证明选讲选做题）如图5,AB为⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且cmAC22,过C的割线CMN交AB的延长线于点D,CM=MN=ND.AD的长等于_______cm.答案：2716．(本小题满分12分)已知(1,sin),((2),sin)3mxnconxx，设函数f(x)=mn。(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求函数f(x)的最大值.解:f(x)=mn=cos(2x+)+sinx.=(1)因为2,T321cos213cos2cossin2sinsin233222xxxx考单招——上高职单招网(2)当sin21x,即当,()4xkkZ时,f(x)的最大值为17．（本小题满分12分）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖。（Ⅰ）求仅一次摸球中奖的概率；（Ⅱ）记连续3次摸球中奖的次数为，求的分布列。解：（Ⅰ）设仅一次摸球中奖的概率为P1,则P1=252102CC=49……………………5分（Ⅱ）的取值可以是0，1，2，3…………………………………6分(0)P=(1-1P)3=125729,(1)P=12311(1)CPP300729=100243,………………………………8分(2)P=22311(1)CPP=240729=80243,(3)P=31P=64729………………………………10分所以的分布列如下表132考单招——上高职单招网0123P1257291002438024364729………………………………………………………12分18.如图所示，直三棱柱111ABCABC的各条棱长均为a，D是侧棱1CC的中点．(l)求证：平面1ABD平面11ABBA；(2)求异面直线1AB与BC所成角的余弦值；(3)求平面1ABD与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．(l)证明：取1AB的中点E，AB的中点F．连结DEEFCF、、．故11//2EFBB．又11//.2CDBB四边形CDEF为平行四边形，DE∥CF．又三棱柱111ABCABC是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF平面ABC，1,CFBBCFAB，而1ABBBB，CF平面11ABBA，又DE∥CF，DE平面11ABBA．又DE平面1ABD．所以平面1ABD平面11ABBA．…………………………4分(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则13(,,0),(0,,0),(0,,),(0,0,),(0,0,0)222aaaACaDaBaB设异面直线1AB与BC所成的角为，则考单招——上高职单招网||2cos4||||ABBCABBC故异面直线1AB与BC所成角的余弦值为24(3)由(2)得133(,,),(,,)22222aaaaaABaAD设(1,,)nxy为平面1ABD的一个法向量．由13(1,,)(,,)0,223(1,,)(,,)0,222aanABxyaaaanADxy得，3,323,3xy即323(1,,)33n……………………………………6分显然平面ABC的一个法向量为(0,0,1)m．则222323|(1,,)(0,0,1)|223cos,23231()()33mn，故,4mn．即所求二面角的大小为4………………14分19．（本小题14分）已知12,FF分别为椭圆E：22221(0)xyabab的左、右焦点，椭圆的离心率32e，过1F的直线交椭圆于,MN两点，且2MNF的周长为8（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；考单招——上高职单招网【解析】（1）据题意，2MNF的周长为8，故48,2aa又222223,4,1,3,124cxeabcya椭圆方程．……………5分（2）①设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t，1122(,),(,)AxyBxy．解方程组22222224()4,(14)8440,14ykxtxkxtkxktxtxy得即……8分要使切线与椭圆恒有两个交点A，B，则使2222226416(14)(1)16(41)0ktktkt即12222222122814410,41,4414ktxxkkttktxxk即且，……………………………10分22222222212121212222(44)84()()(),141414ktkttkyykxtkxtkxxktxxttkkk要使222221212222444544,0,0,141414ttktkOAOBxxyykkk需使即所以5t2–4k2–4=0，即5t2=4k2+4且t2＜4k2+1，即4k2+4＜20k2+5恒成立．又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r=222222224(1)||445,,.55111kttrxykkk所求的圆为……12分②当切线的斜率不存在时，考单招——上高职单招网(5,5)(5,5)545555xxy与交于点或满足．综上，存在圆心在原点的圆2245xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B．………………………………………………………14分20.(本小题14分)已知321()3fxaxax，函数24(),[0,2]33xgxxx（1）当1a时，求()fx在点(3,6)处的切线方程（2）求()gx的值域；（3）设0a，若对任意，总存在，使10()()0gxfx，求实数的取值范围．解：（1）当1a时，31()3fxxx，2()1fxx，(3)8f切线方程为68(3)yx，即8180xy-------------------3分（2）24()[0,2]33xgxxx0x时()0fx02x时，4141412()13332312gxxxxx，且()0gx当且仅当1x时上式取等号即20()3gx-综上，()gx的值域为2[0,]3--------7分(3)设函数()fx在上的值域是A，若对任意．10,2x00,2xa0,210,2x考单招——上高职单招网总存在,使10()()0gxfx，-