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广东省广州市五校联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1．（5分）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．[0，）B．（﹣，1]C．[﹣1，）D．（﹣，0]2．（5分）2cos2﹣1=（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）已知等比数列{an}的通项公式为an=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9C．D．34．（5分）“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm26．（5分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离7．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢P为：∀x∈R，x2+x﹣1≥0B．若“P且Q”为假命题，则P，Q均为假命题C．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”8．（5分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1B．0C．﹣1D．﹣39．（5分）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7B．10C．6D．810．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0B．C．D．二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）11．（5分）如图所示，向量，，在由单位长度为1的正方形组成的网格中，则•（）=．12．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．13．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．14．（5分）已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5．若存在两项am，an使得=2a1，则+的最小值为．三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）.15．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．16．（13分）对某校2015届高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：分组频数频率[10，15）100.25[15，20）24n[20，25）mp[25，30）20.05合计M1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校2015届高三学生有240人，试估计该校2015届高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．17．（13分）已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=2an﹣2（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log2an，cn=，记数列{cn}的前n项和Tn，求Tn．18．（14分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，∠ABC=90°，如图1．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，如图2．（Ⅰ）求证：CD⊥AB；（Ⅱ）若点M为线段BC中点，求点M到平面ACD的距离；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．19．（14分）设动点P（x，y）（y≥0）到定点F（0，1）的距离比它到x轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设圆M过A（0，2），且圆心M在曲线C上，EG是圆M在x轴上截得的弦，试探究当M运动时，弦长|EG|是否为定值？为什么？20．（14分）设函数f（x）=x|2x﹣a|，g（x）=，a＞0（1）当a=8时，求f（x）在区间[3，5]上的值域；（2）若∀t∈[3，5]，∃xi∈[3，5]（i=1，2）且x1≠x2，使f（xi）=g（t），求实数a的取值范围．广东省广州市五校联考2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1．（5分）设集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}，则M∩N=（）A．[0，）B．（﹣，1]C．[﹣1，）D．（﹣，0]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解一元二次不等式求得N，再根据两个集合的交集的定义求得M∩N．解答：解：集合M={x|﹣＜x＜}，N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，则M∩N={x|0≤x＜}，故选：A．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）2cos2﹣1=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用二倍角的余弦公式计算求得结果．解答：解：2cos2﹣1=cos（2×）=，故选：C．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．3．（5分）已知等比数列{an}的通项公式为an=3n+2（n∈N*），则该数列的公比是（）A．B．9C．D．3考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式求解．解答：解：∵等比数列{an}的通项公式为an=3n+2（n∈N*），∴该数列的公比q===3．故选：D．点评：本题考查等比数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题．4．（5分）“a＜b”是“log2a＜log2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵log2a＜log2b，∴0＜a＜b，∴“a＜b”是“log2a＜log2b”的必要不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用对数的基本运算性质是解决本题的关键，比较基础．5．（5分）若一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．B．21cm2C．D．24cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：三视图复原的组合体是下部是正方体，上部是四棱锥，根据三视图数据，求出表面积即可．解答：解：三视图复原的组合体是下部是棱长为2的正方体，上部是底面边长问的正方形，高为1的四棱锥，组合体的表面积为：=故选A．点评：本题考查由三视图求表面积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．6．（5分）圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0与圆x2+y2+2y﹣3=0的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．外离考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：直线与圆．分析：把圆的方程化为一般形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，可得两圆相外切．解答：解：圆x2+y2﹣8x﹣4y+11=0即（x﹣4）2+（y﹣2）2=9，表示以A（4，2）为圆心、半径等于3的圆；圆x2+y2+2y﹣3=0，即x2+（y+1）2=4，表示以B（0，﹣1）为圆心、半径等于2的圆．由于圆心距AB==5，正好等于半径之和，故两圆相外切，故选：B．点评：本题主要考查圆的一般方程，两圆的位置关系的判定方法，属于基础题．7．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则￢P为：∀x∈R，x2+x﹣1≥0B．若“P且Q”为假命题，则P，Q均为假命题C．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：通过命题的否定判断A的正误；利用复合命题的真假判断B的正误；利用充要条件判断C的正误；四种命题的逆否关系判断D的正误．解答：解：对于A，满足全称命题与特称命题的否定关系，所以A正确；对于B，若“P且Q”为假命题，则P，Q一个是假命题就是假命题．不一定均为假命题，所以B不正确；对于C，“x＞2”可得“x2﹣3x+2＞0”，所以“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件，是C正确；对于D，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否命题的关系．故选B．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，考查全称命题与特称命题的否定关系，复合命题的真假充要条件的判断，四种命题的逆否关系，基本知识的考查．8．（5分）若实数x，y满足不等式组，则y﹣x的最大值为（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再利用目标函数的几何意义，分析后易得目标函数z=y﹣x的最大值．解答：解：约束条件的可行域如下图示：由，可得，A（1，1），要求目标函数z=y﹣x的最大值，就是z=y﹣x经过A（1，1）时目标函数的截距最大，最大值为：0．故选：B．点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．（5分）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB=60°，则A，B之间的距离为（）A．7B．10C．6D．8考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：由余弦定理和已知边和角求得AB的长度．解答：解：由余弦定理知AB===7，所以A，B之间的距离为7百米．故选：A．点评：本题主要考查了余弦定理的应用．已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解决．10．（5分）阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A．0B．C．D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：首先判断框图为“当型”循环结构，然后判断循环体并进行循环运算．判断出规律，最后判断出最后的输出结果．解答：解：本框图为“当型”循环结构，当满足n≤2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin=第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（﹣）=第5次循环：s=+2（﹣）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=…当n为6的倍数时，s的值为0n=2014时，除6余4，故此时s=n=2015时，s=0，n=2016时，退出循环，故选：A．点评：本题考查循环结构，通过进行运算找到循环体的规律，然后对程序进行运算，求输出结果，本题为基础题．二.填空题（共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应位置.）11．（5分）如图所示，向量，，在由单位长度为1的正方形组成的网格中，则•（）=3．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件求出相关向量，然后求解数量积即可．解答：解：由题意可得：向量=（1，3），=（2，﹣2），=（﹣2，3）．∴=（0，1）．∴•（）=0+3=3．故答案为：3．点评：本题考查平面向量的坐标运算，数量积的求解，考查计算能力．12．（5分）双曲线的两条渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解答：解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：点评：本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义