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-1-广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（A卷）（理科）一.选择题1．（5分）命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是（）A．若x＞2015，则x≤0B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0D．若x＞0，则x＞20152．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．4．（5分）已知等比数列{an}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±5．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣6．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S5=15，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．7．（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，设，则x，y，z的值分别是（）-2-A．B．C．D．8．（5分）设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．3+2C．1D．9．（5分）方程px﹣qy2=0与px2﹣qy2=1（pq≠0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．2B．C．D．4二.填空题11．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为．12．（5分）已知等差数列{an}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=．13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）曲线C是平面内与两个定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数m2（m＞1）的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点②曲线C关于坐标原点对称③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积的最大值为．其中所有正确结论的序号是．三.解答题-3-15．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB=且ac=35．（1）求△ABC的面积；（2）若a=7，求角C．16．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x2﹣4x+3≤0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（14分）某农场计划种植甲、乙两个品种的蔬菜，总面积不超过300亩，总成本不超过9万元．甲、乙两种蔬菜的成本分别是每亩600元和每亩200元．假设种植这两个品种的蔬菜，能为该农场带来的收益分别为每亩0.3万元和每亩0.2万元．问该农场如何分配甲、乙两种蔬菜的种植面积，可使农场的总收益最大，最大收益是多少万元？18．（14分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．19．（14分）已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b，其前n项和为Tn，①求证：＜1②是否存在最小整数m，使得不等式＜m对任意真整数n恒成立，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），过椭圆的右焦点F2作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．-4-（1）求椭圆的方程；（2）求+的值；（3）求|AB|+|CD|的最小值．广东省东莞市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（A卷）（理科）参考答案与试题解析一.选择题1．（5分）命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是（）A．若x＞2015，则x≤0B．若x≤0，则x≤2015C．若x≤2015，则x≤0D．若x＞0，则x＞2015考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：否命题是既否定题设又否定结论，从而得到答案．解答：解：命题“若x＞2015，则x＞0”的否命题是：若x≤2015，则x≤0，故选：C．点评：要将命题的否定和否命题区分开来，本题属于基础题．2．（5分）若a∈R，则“a=2”是“（a﹣2）（a+4）=0”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性，从而得到答案，解答：解：若a=2，则（a﹣2）（a+4）=0，是充分条件，若（a﹣2）（a+4）=0，则a不一定等于2，是不必要条件，故选：B．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，a=4，A=45°，B=60°，则b=（）A．2B．2C．2D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得b=，代入已知即可求值．-5-解答：解：由正弦定理可得：b===2．故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．4．（5分）已知等比数列{an}，a1=1，a3=，则a5=（）A．±B．﹣C．D．±考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得a32=a1•a5，代值计算可得．解答：解：∵等比数列{an}，a1=1，a3=，∴a32=a1•a5，∴=1×a5，解得a5=故选：C点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．5．（5分）已知双曲线的渐近线方程是y=±x，焦点在x轴上，焦距为20，则它的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出双曲线的方程，求出渐近线方程，可得a=2b，a2+b2=100，解方程即可得到双曲线的方程．解答：解：设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则渐近线方程为y=x，则有=，c=10，a2+b2=100，解得a2=80，b2=20，-6-即有双曲线的方程为﹣=1．故选D．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S5=15，则数列{}的前10项和为（）A．B．C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列性质计算可得，也可由S5=15直接求公差．推出通项公式，然后利用裂项法求解数列的和．解答：解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S5=15=×5，可得a5=5．d=1，an=n，==，数列{}的前10项和为：==．故选：A．点评：本题考查数列的求和的方法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理应用．7．（5分）已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，设，则x，y，z的值分别是（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件，转化向量关系，通过平面向量的运算，推出结果即可．解答：解：空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，点G是线段MN的中点，-7-可知，=，=．∴=，∵，∴x，y，z的值分别是．故选：A．点评：本题考查平面向量基本定理的应用，空间向量转化为平面向量的解题的关键．8．（5分）设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为（）A．6B．3+2C．1D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：是5a与5b的等比中项，可得a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵是5a与5b的等比中项，∴5a•5b==5，∴a+b=1．∵a＞0，b＞0，∴=（a+b）=3+=3+2．当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为3+2．故选：B．点评：本题考查了等比数列的性质、指数运算法则、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．9．（5分）方程px﹣qy2=0与px2﹣qy2=1（pq≠0）表示的曲线在同一坐标系中可能的是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据圆锥曲线的定义，逐一判断和每个选项，即可得到答案解答：解：方程px﹣qy2=0可化为y2=x，这表示焦点在x轴的抛物线，排除D；-8-当开口向右时，＞0，则pq＞0，所以px2﹣qy2=1（pq≠0）表示双曲线，排除C；当开口向左时，＜0，则pq＜0，所以px2﹣qy2=1（pq≠0）表示椭圆或圆或不表示任何图形，排除B；故选：A点评：本题考查了圆锥曲线的方程，利用排除法时选择题常用的方法，属于基础题10．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，M是它们的一个公共点，且∠F1MF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．2B．C．D．4考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理和柯西不等式即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1MF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，-9-当且仅当e1=，e2=时取等号．即取得最大值且为．故选C．点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．二.填空题11．（5分）抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：确定抛物线的焦点位置，根据方程即可求得焦点坐标．解答：解：抛物线的焦点在y轴上，且2p=4∴=1∴抛物线x2=﹣4y的焦点坐标为（0，﹣1）故答案为：（0，﹣1）点评：本题考查抛物线的几何性质，先定型，再定位是关键．12．（5分）已知等差数列{an}，a1=1，公差d≠0，若a1，a2，a6成等比数列，则a11=31．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d由等差数列的通项公式可得．解答：解：∵等差数列{an}，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a6成等比数列，∴a22=a1•a6，代入数据可得（1+d）2=1×（1+5d），解得d=3，或d=0（舍去）∴a11=a1+10d=1+10×3=31故答案为：31点评：本题考查等差数列的通项公式，涉及等比数列的通项公式，属基础题．13．（5分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[﹣1，3]．考点：特称命题；命题的否定．专题：规律型．分析：根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．解答：解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，-10-即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．点评：本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基