《线段的垂直平分线》习题

《线段的垂直平分线》习题一、选择题1．如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A．AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB2．如图所示，在△ABC中，AD垂直平分扫BC，AC＝EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB＋DB与DE之间的数量关系是（）A.AB＋DBDEB.AB＋DBDEC.AB＋DB＝DED.无法判断1题2题3题4题3．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60°B．75°C．90°D．95°4．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A.6B.5C.4D.35．已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（）A．24cm和12cmB.16cm和22cmC．20cm和16cmD．22cm和16cm二、填空题1．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）1题2题3．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝110°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，则∠PAQ=________°．4．如图，已知AE=BE，DE是AB的垂直平分线，BF=12，CF=3，则AC=______．5．如图所示，已知AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，DE交AC于点D，若△DBC的周长为35cm，则BC=_______cm．3题4题5题三、证明题1．如图，已知：在ABC中，90C，30A，BD平分ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.2．如图，已知：在ABC中，ACAB，120BAC，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F.求证：BFCF2.3．如图，已知：AD平分BAC，EF垂直平分AD，交BC延长线于F，连结AF.求证：CAFB.4．如图，已知直线l和点A，点B，在直线l上求作一点P，使PBPA.参考答案一、选择题1.【答案】A【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．2.【答案】C【分析】直接运用线段的垂直平分线的性质即可知道答案.【解答】∵AD垂直平分扫BC，∴AB＝AC，BD＝CD，又∵AC＝EC，∴AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC＝DE3.【答案】C【分析】直接运用线段的垂直平分线的性质即可知道答案.【解答】∵一张长方形纸片沿BC、BD折叠，∴∠ABC=∠A′BC，∠EBD=∠E′BD，而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD=180°，∴∠A′BC+∠E′BD=180°×12=90°，即∠CBD=90°．4.【答案】B【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出线段PB的长度．【解答】解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，而已知线段PA=5，∴PB=5．5．【答案】B【分析】直接运用垂直平分线的性质即可.【解答】∵△ABC的周长为AB+AC+BC=60cm△DBC的周长为BD+DC+BC=38cmBD+DC=AD+DC=AC∴AB=60-38=22BC=60-22×2=16．故选B．二、填空题1.【答案】6.解析:【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE=CE，∠EDB=90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解【解答】解：∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=6．2.【答案】60°.解析：【分析】先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．【解答】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=80°，∵DE是线段AB垂直平分线的交点，∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=80°﹣20°=60°．3.【答案】40°【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理与全等三角形判定即可知道答案.【解答】∵∠BAC=110°，∴∠B＋∠C；180°－110°=70°．∵PM，QN分别垂直平分AB，AC，∴△BPM≌△APM，△CQN≌△AQN．∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝70°．∴∠PAQ=∠BAC－∠BAP－∠CAQ＝110°－70°＝40°．4.【答案】14cm．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理即可知道答案.【解答】∵DE是AB的垂直平分线，∴AF=BF∴AC=AF+CF=BF+CF=12+3=15．5.【答案】15cm．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理和等量代换即可知道答案.【解答】∵DE垂直平分AB，垂足为E，D正交AC于点D，∴DA＝DB，∴BD＋DC＝AD＋DC＝20cm．又∵△DBC的周长为35cm，即BD＋DC＋BC＝35cm，∴BC=15cm．三、证明题1.【分析】根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明DABD即可.【解答】∵90C，30A（已知），∴60ABC（Rt的两个锐角互余）又∵BD平分ABC（已知）∴AABCDBA3021.∴ADBD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.2.【分析】由于120BAC，ACAB，可得30CB，又因为EF垂直平分AB，连结AF，可得BFAF.要证BFCF2，只需证AFCF2，即证90FAC就可以了.【解答】连结AF，∵EF垂直平分AB（已知）∴FBFA（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）∴BFAB（等边对等角）∵ACAB（已知），∴CB（等边对等角）又∵120BAC（已知），∴30CB（三角形内角和定理）∴30BAF∴90FAC∴FAFC2（直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）∴FBFC23.【分析】B与CAF不在同一个三角形中，又B，CAF所在的两个三角形不全等，所以欲证CAFB，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质.那么注意到EF垂直平分AD，可得FDFA，因此ADFFAD，又因为CADFADCAF，BADADFB，而BADCAD，所以可证明BCAF.【解答】∵EF垂直平分AD（已知），∴FDFA（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.∴ADFFAD（等边对等角）∵BADADFB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），CADFADCAF，又CADBAD（角平分线定义），∴CAFB4.【分析】假设P点已经作出，则由PBPA，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上.而点P又在直线l上，则点P应是AB的垂直平分线与垂线l的交点.【解答】作法：①连结AB.②作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P.则P即为所求的点.