2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版-带解析]-历年自主招生考试数学试题大全

.WORD格式.资料.专业.整理2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1．已知函数xeaxxf)()(2有最小值，则函数axxxg2)(2的零点个数为（）A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意)()(/xgexfx，答案C．2．已知ABC的三个内角CBA,,所对的边为cba,,．下列条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有（）A．Zcba,2,1B．BbCaCcAaAsinsin2sinsin,1500C．060,0sincos)cos(cossincosCCBCBCBAD．060,1,3Aba【答案】AD．3．已知函数xxgxxfln)(,1)(2，下列说法中正确的有（）A．)(),(xgxf在点)0,1(处有公切线B．存在)(xf的某条切线与)(xg的某条切线平行C．)(),(xgxf有且只有一个交点D．)(),(xgxf有且只有两个交点.WORD格式.资料.专业.整理【答案】BD【解析】注意到1xy为函数)(xg在)0,1(处的切线，如图，因此答案BD．4．过抛物线xy42的焦点F作直线交抛物线于BA,两点，M为线段AB的中点．下列说法中正确的有（）A．以线段AB为直径的圆与直线23x一定相离B．||AB的最小值为4C．||AB的最小值为2D．以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A，点M到准线1x的距离为||21|)||(|21ABBFAF，于是以线段AB为直径的圆与直线1x一定相切，进而与直线23x一定相离；对于选项B，C，设)4,4(2aaA，则)1,41(2aaB，于是2414||22aaAB，最小值为4．也可将||AB转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然BD中点的横坐标与||21BM不一定相等，因此命题错误．5．已知21,FF是椭圆)0(1:2222babyaxC的左、右焦点，P是椭圆C上一点．下列说法中正确的有（）A．ba2时，满足02190PFF的点P有两个B．ba2时，满足02190PFF的点P有四个C．21FPF的周长小于a4D．21FPF的面积小于等于22a.WORD格式.资料.专业.整理【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得21PFF最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，21PFF的周长为aca422；选项D，21PFF的面积为22212121212||||21sin||||21aPFPFPFFPFPF．6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．已知AB为圆O的一条弦（非直径），ABOC于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有（）A．PBMO,,,四点共圆B．NBMA,,,四点共圆C．NPOA,,,四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OPMOAMOBM即得；对于选项B，若命题成立，则MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MANMOPMBN即得．答案：AC．8．CBACBAcoscoscossinsinsin是ABC为锐角三角形的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B.WORD格式.资料.专业.整理【解析】必要性：由于1cossin)2sin(sinsinsinBBBBCB，类似地，有1sinsin,1sinsinABAC，于是CBACBAcoscoscossinsinsin．不充分性：当4,2CBA时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．9．已知zyx,,为正整数，且zyx，那么方程21111zyx的解的组数为（）A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于xzyx311121，故63x．若3x，则36)6)(6(zy，可得)12,12(),15,10(),18,9(),24,8(),42,7(),(zy；若4x，则16)4)(4(zy，可得)8,8(),12,6(),20,5(),(zy；若5x，则6,5,320,211103yyyzy，进而解得)10,5,5(),,(zyx；若6x，则9)3)(3(zy，可得))6,6(),(zy．答案：B．10．集合},,,{21naaaA，任取AaaAaaAaankjiikkjji,,,1这三个式子中至少有一个成立，则n的最大值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B11．已知000121,61,1，则下列各式中成立的有（）A．3tantantantantantanB．3tantantantantantan.WORD格式.资料.专业.整理C．3tantantantantantanD．3tantantantantantan【答案】BD【解析】令tan,tan,tanzyx，则3111zxzxyzyzxyxy，所以)1(3),1(3),1(3zxzxyzyzxyzy，以上三式相加，即有3zxyzxy．类似地，有)11(311),11(311),11(311zxxzyzzyxyyx，以上三式相加，即有3111xyzzyxzxyzxy．答案BD．12．已知实数cba,,满足1cba，则141414cba的最大值也最小值乘积属于区间（）A．)12,11(B．)13,12(C．)14,13(D．)15,14(【答案】B【解析】设函数14)(xxf，则其导函数142)(/xxf，作出)(xf的图象，函数)(xf的图象在31x处的切线321)31(7212xy，以及函数)(xf的图象过点)0,41(和)7,23(的割线7174xy，如图，于是可得321)31(7212147174xxx，左侧等号当41x或23x时取得；右侧等号当31x时取得．因此原式的最大值为21，当31cba时取得；最小值为7，当23,41cba时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为)169,144(37．答案B．.WORD格式.资料.专业.整理13．已知1,1,,,222zyxzyxRzyx，则下列结论正确的有（）A．xyz的最大值为0B．xyz的最大值为274C．z的最大值为32D．z的最小值为31【答案】ABD14．数列}{na满足)(6,2,1*1221Nnaaaaannn，对任意正整数n，以下说法中正确的有（）A．nnnaaa221为定值B．)9(mod1na或)9(mod2naC．741nnaa为完全平方数D．781nnaa为完全平方数【答案】ACD【解析】因为2112221122213226)6(nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaannnnnnnaaaaaaa22121122)6(，选项A正确；由于113a，故76)6(2121121221nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa，又对任意正整数恒成立，所以211211)(78,)(74nnnnnnnnaaaaaaaa，故选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误．说明：若数列}{na满足nnnapaa12，则nnnaaa221为定值．15．若复数z满足11zz，则z可以取到的值有（）A．21B．21C．215D．215【答案】CD.WORD格式.资料.专业.整理【解析】因为11||1||zzzz，故215||215z，等号分别当iz215和iz215时取得．答案CD．16．从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）A．6552B．4536C．3528D．2016【答案】C【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有k2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到732201625，因此所求正多边形的个数为352810082016)71)(931)(32168421(．答案C．17．已知椭圆)0(12222babyax与直线xylxyl21:,21:21，过椭圆上一点P作21,ll的平行线，分别交21,ll于NM,两点．若||MN为定值，则ba（）A．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点),(00yxP，可得)2141,21(),2141,21(00000000yxyxNyxyxM，故意2020441||yxMN为定值，所以2,1641422baba，答案：C．说明：（1）若将两条直线的方程改为kxy，则kba1；（2）两条相交直线上各取一点NM,，使得||MN为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于yx,的不定方程yx21652的正整数解的组数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B.WORD格式.资料.专业.整理19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数cba,,相乘的时候，可以有),(),(,)(,)(cababccbacab等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有nI种，则（）A．22IB．123IC．964ID．1205I【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得1121221)!1(!1nnnnnnnnCnnCnACI．答案：AB．关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是．【答案】0.165【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为165.0)8.05.03.05.0(3.0．21．在正三棱锥ABCP中，ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线CPAB,的距离为y．则yxlim．【答案】23【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为23．.WORD格式.资料.专业.整理22．如图，正方体1111DCBAABCD的棱长为1，中心为AAEABCBFO1141,21,，则四面体OEBF的体积为．【答案】196【解析】如图，EBFGEBFOOEBFVVV21961161212111BBCCEGBFEVV．23．dxxxnn)sin1()(22012．【答案】0【解析】根据题意，有0)sin1()sin1()(21222012dxxxdxxxnnnn．24．实数yx,满足223224)(yxyx，则22yx的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有22222