2017清华领军与自招数学与逻辑

2017年清华大学自主招生与领军计划数学试题（1）设函数2()xxfxeeax，若对0,()2xfx，则实数a的取值范围是()(,3]A()[3,)B()(,2]C()[2,)D分析：如果是解答题，我们需要对()fx求导，对a分类讨论单调性，求[0,)上的最小值，进而求得答案。但是对于清华领军考试这样的要求快速作答的选择题，这么做很浪费时间，可以用数形结合快速得出答案。解：问题等价于22xxeeax在[0,)上恒成立记2()xxgxee，()2hxax，两函数均过(0,2)，且(0)3g由图像可得(,3]a选A（2）设,AB为两个随机事件，且,0()1ABPA，则()()1()APABPB()()1()BPABPB()(|)()CPBAPB()(|)()DPBAPB解：（A）()1()1()PABPABPA，所以A错（B）()()1()1()PABPABPABPB，所以B对（C）()()(|)1()()PABPAPBAPAPA，所以C错（D）()()()(|)1()1()PBAPBPAPBAPAPA，所以D错选B（3）从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有()1692A个(B)3672个(C)3708个(D)3888个解：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位h(x)g(x)2Oxy置放这个数，剩下两个数再排列一下，共有32104324320CC个.下面考虑0被排在了首位的情况：1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有293!216C个.2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有2923216C个.于是符合题目要求的四位数共有43202162163888个选D（4）已知集合{1,0,1}M，{2,3,4,5,6}N，设映射:fMN满足：对任意的,()()xMxfxxfx是奇函数，这样的映射f的个数()25A(B)45(C)50(D)100解：设()()()gxxfxxfx则(1)1g，(0)(0)gf，(1)12(1)gf，(1),(1)gg均为奇数，所以只需令(0)f为奇数，所以共有52550种选择选C（5）若关于x的方程12cos(1)0xax只有一个实数解，则实数a的值()1A等于(B)1等于(C)2等于(D)不唯一解：显然12x与cos(1)ax均关于1x对称，若有1x之外的解，则均成对出现，所以要只有一个解，则只能在1x处，此时1a当1a时，1x时121x，1cos(1)1ax，确实只有1x一个解.选A（11）方程23100xyz的非负整数解的个数是()883A()884B()885C()886D答案：B解析：令2xyt，先研究3100tz的解的个数，然后对于t的每一个可能的取值0t，分别研究02xyt的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解，三元怎么办？自然将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。具体来说：3100tz的非负整数解有34组，其中32,134ntnn，分别研究2nxyt的非负整数解的个数：（写一写，看一看——归纳猜想！当然直接求解也可以，但容易算错）n123456……34nt147101316……100组数134679……51所以，总组数5152(258...50)8842S（6）设,ab为非零向量，且2ba，则b与ba夹角的最大值为（B）()12A(B)6(C)4(D)3解析：因为2ba，取ODb，则平移向量a的起点到点O，则向量a的终点在以O为圆心，以2b为半径的圆上，如下图所示，则b与ba夹角为COD，方法一：根据几何意义可知，当CD与圆O相切时，夹角最大，此时，OCCD，则1sin2OCCODOD,则6COD.yxODC方法二：在COD中，不妨假设，1,2,OCODCDx，则24113cos44xCODxxx，当且仅当3x时，cosCOD取最小值32，此时COD最大，为6.方法三：假设2,0b，则cos,sin0,2a，则2cos,sinba，设b与ba夹角为，则2242cos42cos2coscos254cos54cos22cossin令54cos,1,3tt，则25cos,1,34tt，则2252131334cos,1442tttttt所以0,6（7）已知三棱锥PABC的底面为边长为3的正三角形，且3,4,5,PAPBPC则PABC的体积为（C）()3A(B)10(C)11(D)23解析：如图，因为3ABACAP,过点A向面PBC作垂线PH，因为斜边长相等，则射影相等，可知H到顶点,,PBC距离相等，因此H为PBC的外心，因为PBC为直角三角形，所以H为PC的中点.AH平面PBC，则22112AHACCH,所以11113411322PABCAPBCVV.（8）设函数432()2(2)2(12)41fxxxmxmxm，若对任意的实数ACBPH,()0,xfx则实数m的取值范围是（A）()[0,)A1()[,)2B()[0,1]C1()[,1]2D解：方法一：排除法，当0m时，243243222()222122111fxxxxxxxxxxxx显然满足题意，可以排除选项BD；当2m时，4324322()2410923109fxxxxxxxxxx2225213033xxx显然，也满足题意，因此排除D选项，选A.方法二：4322()02221440fxxxxxmxx即2224322442221211mxxxxxxmxxx则，题目等价于对任意的实数,x222211mxxx恒成立，当2x时，不等式显然成立，当2x时，题目等价于对任意的实数,x222112xxmx恒成立，因为2221102xxx，而且0能取到，所以222112xxx的最大值为0，因此0m.（9）设正实数,,,xyzw满足22020xyzwyzwxzy，则zy的最小值为D()62A()622B()632C()642D解：设ztzyty，则22(2)21xwytytwxt由均值不等式可得，22(2)22(2)8ytxwytxw，又因为22ytwx，所以222(2)16ytyt，则2(2)16642,642tttt，又因为1t，所以642t，故选D.（10）给定圆O及圆内一点P，设,AB是圆O的两个动点，满足90APB，则AB的中点的轨迹为(A)()A一个圆()B一个椭圆()C一段双曲线()D一段抛物线解：如图，建立平面直角坐标系，不妨假设圆O的方程为222,xyR,00PmmR，则OMAB,所以222AMOAOM,因为AMPM，所以222PMOAOM，设,Mxy，则22222()xmyRxy化简得：2222mxymx22R，即2222xy224mRm，所以轨迹为一个圆.（11）方程23100xyz的非负整数解的个数是()883A()884B()885C()886D答案：B解析：令2xyt，先研究3100tz的解的个数，然后对于t的每一个可能的取值0t，分别研究02xyt的解的个数。考查的是类比转化的思想——既然二元一次不定方程会解，三元怎么办？自然将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。具体来说：3100tz的非负整数解有34组，其中32,134ntnn，分别研究2nxyt的非负整数解的个数：（写一写，看一看——归纳猜想！当然直接求解也可以，但容易算错）n123456……34nt147101316……100组数134679……51所以，总组数5152(258...50)8842S（12）设整数123,,aaa满足124(1,2,3),kak且对任意整数x，2123234axaxa是24的倍数，满足条件的有序数组123(,,)aaa的个数为()12A()24B()36C()48D答案：D解析：整体思路——尽量给出足够强的必要条件，进而枚举解决。具体来说：令0x，易得36|a，所以3a可能的取值有4种；下面分析21224|23axax即可；令2x，易得24|a；令1x，易得13|a；因此，设123,4apaq，其中18,16pq，,pqZ更进一步讨论，有：224|612pxqx，即24|2pxqx，因为奇数的平方模4余1，偶数的平方模4余0，所以只需4|2pq，即可满足题意；当2p时，1,3,5q；当4p时，2,4,6q；当6p时，1,3,5q；当8p时，2,4,6q；因此总共有44348种情况（13）设,,ABC是三角形的三个内角，则sinsinsinABC的最大值3()2A等于3+23()4B等于1+5()2C等于()D不存在答案：C解析：方法一：尝试和差化积，发现搞不定，再尝试积化和差：cos()cos()1115sinsinsinsinsincos2222BCBCABCAAA取等条件显然能取到，从而选C方法二：根据不等号的方向和整个式子的结构，想到采用均值不等式进行放缩，然后和差化积：22(sinsin)sinsinsinsinsinsin42BCBCABCAA1cos15sin22AA取等条件显然能取到，从而选C方法三：作为选择题，容易根据,,ABC的不对称性判断，B选项3ABC应该不是答案，而332315242，所以直接猜C。此方法适用于时间不够的情况。（14）设222cossin,()2,55wiPxxx则234()()()()PwPwPwPw()9A()10B()11C()12D答案：C解析：4221122()()()()12124PwPwPwP2344632244；2282321()()44PwP；所以2342342211()()()()164()()()PwPwPwP331112()11（15）设126,,,aaa是1,2,3,4,5,6的排列，且满足1234565101050aaaaaa，则这种排列的个数是()5A()6B()7C()8D答案：B解析：首先若（126,,,aaa）满足题意，则（651,,,aaa）也满足题意，所以答案一定是B或D；此时若时间不够，直接选B或D。由题意，165|aa，所以166,1aa（或对换），此时有：25341()2()0aaaa，所以25aa为奇数，下面分类讨论：若342aa，有255aa，矛盾；若341aa，则253aa，从而25345,2,4,3aaaa；若341aa，则251aa，此时对应两种情况；若