4裂项相消求和法(教师)

裂项相消求和法在数列和不等式中的应用数列与不等式是高中数学重点内容，是高考必考内容，数列与不等式的结合成为高考的命题热点，具有难度大、灵活性强的特点，对学生的数学思维品质提出了较高的要求，尤其是以递推数列为载体的不等式证明，可以从较高的层次上考察学生运用数学思想方法进行代数推证的理性思维能力。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析特征，抓住规律进行适当地放缩。下面就几道例题剖析如何用裂项相消求和法证明数列不等式。基本问题求和：（1）)12)(12(1971751531311nnSn12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21nnnnnSn（2）)13)(23(11071741411nnSn。)131231(31)10171(31)7141(31)411(31nnSn13)1311(31nnn（3）)2)(1(1543143213211nnnSn。因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnn，])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21nnnnnnSn（4）.已知221111nnan，求na前n项的和nS.解析：∵2111122nannnn，∴111111111111324352111111111111233452212323212nSnnnnnnnnnnnnn类型一、通项2nmaanbnc（,,,mabc是常数）例1、求证:2112nii.思路一、若21111211nnnnnn，21111111112231niinn2；思路二、若211111211211nnnnnn，21111111111232411niinn74；思路三、12112121444111222nnnnn,35321121121513121112nnknk点评：由于22141141111nnnnnn，57234，可见通项放缩越接近，和就越接近。例2、已知121nann，证明：121115.12naaa．思路、n≥2时，易得12121nannnn，1121nann11121nn，故12111111116223341naaann5.12点评：当分母是关于n的二次表达式，通过因式分解（或需要放缩）等差数列相邻两项的积。例3、已知21nan，前n项和为nS，11nnnnabSS，求证121nbbb证明：22222111(1)(1)nnbnnnn，122111(1)nbbbn点评：此题虽然分母不是二次式，但可以看成是2nbn相邻两项的积，仍然可以裂成两项之差。例4、求证：1112nn…12n5.6思路、令1112nTnn…12n，（2n），1111111()1(21)2441()2nnTTnnnnnn，故1112211111()428nnnnnTTTTTTTTn，11552886nT点评：由于1112122nnTTnn，111212nnTTnn…231156TT，211134TT，则11111()()3456nTT…1111()()2122122nnnn11111()()34567…111111()22212323nnnn，故56nT。也可以得证。通过以上例题可以看出，当分母2axbxcaxsxt可以放缩为一个等差数列相邻两项（若分母为关于n高次）的积，便可以裂成两项的差。除以上例题用到放缩技巧以外，还有：若na为等差数列，公差为d，则12112211111nnnnnaaaandaaaaaa，1211211(1)(1)(1)(1)nnCCnnnnnnnknnkknnnkknknk11111)1(1,11111)1(1，)2(111)1(1!11)!(!!11rrrrrrnrnrnnCTrrrnr等。类型二、通项nmaanb（,,mab是常数）例5、求证：)112(2131211)11(2nnn思路、首先nnnnn12)1(21,所以容易经过裂项得nn131211)11(2再证21212121222)1212(21nnnnnnn而由均值不等式，知道这是显然成立的，所以)112(2131211nn。例6、数列132nbn，{}nb的前n项和为nT，求证：2(311)3nTn．思路、由于1222(3132)3232323231nnbannnnnn所以，12nnTbbb2(3113123213223132)3nn2(311)3n。例7、已知nan，求证：33212232221nanaaa。证明:∴223112(1)(1)(1)(1)2nnnannnnnnnn2(1)(1)(11)nnnn1111(1)(1)11nnnnnn。所以22223123nnSn1111111111(1)()()()()32435211nnnn1112321nn通过以上例题不难得到，如果分母可以放缩为两个根式之和，采用分母有理化便可以得到两个根式之差。除以上例题用到放缩技巧以外，还有：)2(1)1(1nnnnn，)1(21)1(2nnnnn21212121222)1212(21nnnnnnn，111)11)((1122222222jijijijijijiji，111)1(1)1(1)1)(1(11123nnnnnnnnnnnn11112111111nnnnnnn.等。类型三、通项1mnnnaaabab（,,mab是常数）例8、已知已知12nna令11nnnbaanT是数列nb的前n项和，证明：16nT．证明：11nnnbaa111111221212121nnnnn111122121nn12311111111235592121nnnnTbbbb1111123216n。例9、11(21)(21)nnna，求证12aa…1942na当2n时，1111111111()()(21)(21)2212122121nnnnnnn12aa…+3111111()32122121nna111193211442当2n时，11111(21)(21)24321443214nnnnnnnn故12aa…115194213124214na12aa…+1111119()321272342nan例10、已知2221nnna，求证：122naaa。证明：2221nnna=111222112212121212121nnnnnnnn，故121121221nnaaa。例11、已知22(21)nnna求证12aa…3na思路一：当2n时121122211(21)(21)(22)(21)(22)2121nnnnnnnnnnna故12aa…12(1)321nna思路二：2111122211)()(21)(21)(21)322nnnnnnnna12aa…1211182(1)233321219nnna例12、已知1()3nna设11111nnncaa，数列{}nc的前n项和为Tn.求证：123nTn．思路：11111331131311()1()33nnnnnnnc111311311111131313131nnnnnn1112()3131nn，由111111,313313nnnn得111111,313133nnnn所以1113112()2()313133＋nnnnnc，从而122231111111[2()][2()][2()]333333nnnnTccc22311111112[()()()]333333nnn11112()2333nnn．即123nTn．例13、223(31)nnna求证12aa…+2na思路一、当2n时，111232311(31)(33)(31)(31)3131nnnnnnnn12aa…+3112231nna2思路二、当2n时，223213231323nnnnn111211323323nnnn12aa…12321313na如果分母是含有幂的表达式一般式放缩为一个等比数列，但分母若可放缩成两项式子的积，也可以裂成两项之差。除以上例题用到放缩技巧以外，还有：nnnn21121)12(21，nnnnnnn2)32(12)12(1213211221，)2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112nnnnnnnnnnnnnn.类型4、含阶乘的通项例14、已知1!nnan，求证：11niia。思路、由于!)1(1!1!)1(nnnn故111111111!2!2!3!!1!niiann。点评：含与阶乘有关的通项一般可以拆成两项之差，还有!1!!nnnn，!)2(1!)1(1)!2()!1(!2kkkkkk等。类型5、利用二项式定理例15、求证：当2m，且mN，都有1