第1讲-变化率与导数、导数的运算

结束放映返回目录获取详细资料请浏览：【2014年高考会这样考】1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程．2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导.第1讲变化率与导数、导数的运算结束放映返回目录获取详细资料请浏览：＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)在x＝x0处的导数函数f(x)的导函数基本初等函数的导数公式导数运算法则复合函数的导数考向一考向二考向三求解与曲线的切线有关的问题单击标题可完成对应小部分的学习，每小部分独立成块，可全讲，也可选讲助学微博考点自测A级【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】求复合函数的导数导数的运算导数的定义选择题填空题解答题123、、、B级选择题填空题解答题123、、、结束放映返回目录获取详细资料请浏览：．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．结束放映返回目录获取详细资料请浏览：．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.4．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝-sinxf(x)＝axf′(x)＝axlna(a0)f(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x结束放映返回目录获取详细资料请浏览：导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)±f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．6．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.结束放映返回目录获取详细资料请浏览：＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在，切线的斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．一条区别1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．三个防范结束放映返回目录获取详细资料请浏览：．下列求导过程中①1x′＝－1x2；②(x)′＝12x；③(logax)′＝lnxlna′＝1xlna；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝exlnalna＝axlna.其中正确的个数是()．A．1B．2C．3D．42．(人教A版教材习题改编)函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()．A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)3．(2013·福州模拟)曲线y＝e2x在点(0,1)处的切线方程为()．A．y＝12x＋1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－1D．y＝2x＋14．(2013·杭州一模)曲线y＝13x3＋x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为()．A.19B.29C.13D.235．(2012·广东)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．单击题号显示结果答案显示单击图标显示详解考点自测DCDA2x－y＋1＝012345结束放映返回目录获取详细资料请浏览：【例1】►利用导数的定义求函数的导数；(1)f(x)＝1x在x＝1处的导数；(2)f(x)＝1x＋2.解(1)ΔyΔx＝f1＋Δx－f1Δx＝11＋Δx－1Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx＝1－1＋ΔxΔx1＋Δx1＋1＋Δx＝－ΔxΔx1＋Δx＋1＋Δx＝－11＋Δx＋1＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－11＋Δx＋1＋Δx＝－12.[审题视点]正确理解导数的定义是求解的关键．考向一导数的定义结束放映返回目录获取详细资料请浏览：(2)ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx＝1x＋2＋Δx－1x＋2Δx＝x＋2－x＋2＋ΔxΔxx＋2x＋2＋Δx＝－1x＋2x＋2＋Δx，∴f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0－1x＋2x＋2＋Δx＝－1x＋22.[审题视点]正确理解导数的定义是求解的关键．[方法锦囊]考向一导数的定义求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤：(1)函数增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)平均变化率：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx;(3)求极限f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.结束放映返回目录获取详细资料请浏览：【训练1】设f(x)为可导函数，且满足limΔx→0f1－f1－2x2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()．A．2B．－1C．1D．－2解析limΔx→0f1－f1－2x2x＝limΔx→0f1－2x－f1－2x＝－1，即y′|x＝1＝－1，则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B.答案B考向一导数的定义[审题视点]正确理解导数的定义是求解的关键．[方法锦囊]求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤：(1)函数增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)平均变化率：ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx;(3)求极限f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.结束放映返回目录获取详细资料请浏览：[审题视点]若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．【方法锦囊】有的函数虽然表面形式复杂，但在求导之前，利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．考向二导数的运算【例2】►求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx；(2)y＝xx2＋1x＋1x3；(3)y＝x－sinx2cosx2；(4)y＝(x＋1)1x－1.解(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·1x＝exlnx＋1x.(2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)y＝x－sinx2cosx2＝x－12sinx，∴y′＝x－12sinx′＝x′－12(sinx)′＝1－12cosx.(4)y＝x·1x－x＋1x－1＝－x12＋x－12，∴y′＝－12x－12－12x－32＝－12x1＋1x.结束放映返回目录获取详细资料请浏览：【训练2】求下列函数的导数．(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．解(1)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·sinxcosx′＝tanx＋x·cos2x＋sin2xcos2x＝tanx＋xcos2x.考向二导数的运算[审题视点]若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．【方法锦囊】有的函数虽然表面形式复杂，但在求导之前，利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．结束放映返回目录获取详细资料请浏览：(2)法一y′＝(x＋1)′(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)[(x＋2)·(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.法二y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11.考向二导数的运算[审题视点]若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．【方法锦囊】有的函数虽然表面形式复杂，但在求导之前，利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．结束放映返回目录获取详细资料请浏览：正确分解函数的复合层次，逐层求导．[审题视点]考向三求复合函数的导数【例3】►求下列复合函数的导数．(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝3－x；(3)y＝sin22x＋π3；(4)y＝ln(2x＋5)．解(1)设y＝u5，u＝2x－3，则y′＝y′u·u′x＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2＝10u4＝10(2x－3)4.(2)设y＝u12，u＝3－x，则y′＝y′u·u′x＝(u12)′(3－x)′＝12u-12(－1)＝－12u-12＝－123－x＝3－x2x－6.结束放映返回目录获取详细资料请浏览：求复合函数的导数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．【方法锦囊】(3)设y＝u2，u＝sinv，v＝2x＋π3，则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cosv·2＝4sin2x＋π3·cos2x＋π3＝2sin4x＋2π3.(4)设y＝lnu，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x＝12x＋5·(2x＋5)′＝22x＋5.正确分解函数的复合层次，逐层求导．[审题视点]考向三求复合函数的导数结束放映返回目录获取详细资料请浏览：【训练3】求下列函数的导数．(1)y＝11－3x4；(2)y＝x1＋x2.解(1)设u＝1－3x，y＝u－4，则y′x＝y′u·u′x＝－4u－5·(－3)＝121－3x5.(2)y′＝(x1＋x2)′＝x′·1＋x2＋x·(1＋x2)′＝1＋x2＋x21＋x2＝1＋2x21＋x2.考向三求复合函数的导数求复合函数的导数关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．【方法锦囊】正确分解函数的复合层次，逐层求导．[审题视点]结束放映返回目录获取详细资料请浏览：求解与曲线的切线有关的问题【命题研究】利用导数的几何意义求曲线的切线斜率或切线方程是近几年高考命题的热点，常与函数的图象、性质、几何图形性质交汇命题，主要以选择题、填空题的形式来考查，有时也渗透在解答题之中，难度一般不大．揭秘3