14.1平面及其基本性质doc

114.1平面及其基本性质教学目标：1、理解平面的概念，会画出平面和用字母表示平面。2、能用集合符号表示点与直线，点与平面，直线与平面，平面与平面的关系。3、掌握平面性质的三条公理和推论并知道其作用，会证明简单的共线和共面问题。教学重点：平面的无限延展性和揭示平面基本性质的三条公理及推论。教学难点：三个推论的证明和共面问题的证明。教学过程：一、预习反馈：1、三个问题：（1）你能画出一个四边形，使它的对角线所在的直线不相交吗？空间四边形（2）过任意一点，你能引出三条两两垂直的直线吗？（3）你能用六根粉笔在桌上搭出四个全等的三角形吗？2、引出立体几何与平面几何的不同和联系。（1）从集合的观点看，立体图形和平面图形一样是点的集合，构成平面图形的点是在同一平面上的，而构成立体图形的点不全在一个平面上；（2）立体几何研究的对象是空间图形，是平面几何的扩充。（3）立体几何和平面几何有着紧密的联系，平面几何的概念和性质在立体几何中对于同一平面内的图形依然成立，但在空间不一定成立。例如：过直线上一点有且只能引一条直线与它垂直（×）过直线外一点只能作一条直线与它平行（√）垂直于同一条直线的两条直线必平行（×）二、新课：（一）、平面的概念：1、生活中的桌面、墙面、湖面都是平面的形象，在数学中我们把平面抽象为：无厚度、无边界在空间中可以无限延展的“平”的面，注：直线是往两端无限延伸，而平面是可以往四面八方无限延伸的。22、表示方法：（1）字母表示：平面可以用一个大写字母或小写的希腊字母表示，也可以用平面上的三个点（或三个以上）的字母表示。比如：平面M，平面，平面ABCD等。（2）图像：画平面可以画它的局部，画出一个有一个角为45的平行四边形。垂直水平斜放（3）点和直线、平面的位置关系符号表示：点A在直线l上：Al；点B不在直线l上：Bl。点A在平面上：A；点B不在平面上：B。（4）直线和平面位置关系：1、直线l在平面上（或平面经过直线l）：直线l所有的点都在平面上，记作：l2、直线l与平面相交于点A：直线l与平面有一个公共点A，记作：lA3、直线l与平面平行：直线l与平面没有公共点，记作：()lorl注：2，3也叫做直线l在平面外。（5）完成课后练习14.1/1（二）、公理1：1、公理1：如果直线l上有两点在一个平面内，那么直线l在平面上集合语言表述：若,,,AlBlABl且作用：1）判断直线是否在平面内的理论依据；（证明一条直线在一个平面内，只需证明直线上有两点在平面内）2）也可鉴别一个面是否是平面（如木工检查工作物的表面是否平整，就用一把直尺紧靠表面任意滑动，看直尺的边是否和表面处处密合）2、书例1：已知若,,ABMAB是的中点，求证：M（学生自己看书）33、完成课后练习14.1/24、作业：把14.1节内所有的图形画一遍。补充：用符号表示下列语句，并画出示意图：（1）直线a与平面相交于点A；（2）直线a在平面外；（3）直线a在平面内，直线a不过点A；（4）直线a与直线b相交于平面内一点P。（三）、公理2：1、平面与平面的位置关系：（1）、对于空间不同的两个平面,，如果它们有公共点，则称平面与平面相交，记作：。相交平面的画法：（2）、如果两个平面,没有公共点，则称平面与平面平行，记作：()or。2、公理2：如果不同的两个平面,有一个公共点A，那么,的交集是过点A的直线l。集合语言表述：若lAAl作用：1）说明两个不同平面相交于一条直线，有无数个公共点。2）如果两个不同的平面有一个公共点，则必定有经过该点的一条交线。找交线只要找两个公共点。（注意：不能写成点A）（四）、公理3：1、公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面（有且只有一个）集合语言表述：若c直线AB存在唯一的平面，使得,,ABC。作用：1）如何确定一个平面。4l4DFEl3l2BCl1A2）判断两个平面是否重合。注：三点不共线问题：过空间一点，两点或者一直线上的三个点（或无数个点）能确定几个平面？2、三条推论：推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面。（证明看书完成）推论2：两条相交直线确定一个平面。推论3：两条平行直线确定一个平面。（2，3的证明由学生课后作业完成）3、1、共面问题书例2：已知直线123,lll和两两相交，且三线不共点，求证：直线123,lll和在同一个平面上。证明：因为直线123,lll和两两相交，所以设12=llA，23=Bll，13=Cll，由推论2知，相交的直线12ll和可确定平面，即12,ll，又因为23,,BlCl所以,BC，且3,BCl，由公理1知：3l，即直线123,lll和在同一个平面上问题：如果没有规定三线不共点，那么三条直线两两相交能确定几个平面？练习:如果四条直线两两相交，且无三线共点呢？4、完成课后练习14.2思考：已知a∥b∥c,d与a,b,c分别交于A，B，C.求证：a,b,c,d共面。5、作业：习题册14.1/A、B组补充题：判断下列命题的真假，并把假命题改成真命题。1、两平面,有一个公共点A，就说平面,相交于过A的任意一条直线。2、平面ABC与平面DBC相交于线段BC。3、两平面,有一个公共点A，就说平面,相交于点A，记作A。4、若,ABCABC，，又，，，则平面,重合。5QROPB1C1D1A1BDCAACB5、如果两个平面有A,B两个公共点，那么直线AB上的所有点都是这两个平面的公共点。6、四边形是平面图形。7、若四点不共面，则它们中任何三点都不在一直线上。（五）、证明问题：2、三点共线例1:在正方体1111ABCDABCD中,P,Q,R分别在棱11,,ABBBCC上,且,DPQR相交于O,求证:,,OBC三点共线.提示:要证明各点共线,只要证明它们是两个平面的公共点3、三线共点例4:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,已知EF与HG相交于Q点,求证:EF,HG,AC三线共点.提示:要证明各线共点,只要证明两线相交一点,而这个点在交线上,即第三条直线.结论：三个平面两两相交于三条直线,若三条直线不平行,则它们相交于一点.理论依据：(1)公理1：判断或证明直线是否在平面内(2)公理2：确定两个平面的交线，判定两平面相交（“点共线”，“线共点”）(3)公理3,推论1、2、3:确定平面；证点、线共面的依据；也是作辅助面的依据（（六六））、、做做交交线线，，截截面面例1、已知：l画出过A、B、C三点的平面,与的交线ACBl“共点”、“共线”、“共面”问题6PNMB1C1D1A1BDCAACRBCDQPAPNMB1C1D1A1BDCA例2:如图,P,Q,R分别是空间四边形ABCD的边AB,AD,BC上的点,且PQ与BD不平行,试画出平面PQR与平面BCD的交线.例3、在长方体1111ABCDABCD中，画出例4:1）在正方体1111ABCDABCD中的棱1111,,ABBBDCA上分别有三点M,P,N,过三点作截面,确定其与各个面的交线.2）正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状．B11111)2AACDACB1111平面与平面BDD的交线)平面与平面BD的交线