分式方程及分式化简

-1-分式方程及分式化简【知识精读】1.解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。2.解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解析】例1.解方程：xxx1211分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()xx11，得例2.解方程xxxxxxxx12672356分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()xxxx6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。解：原方程变形为：xxxxxxxx67562312方程两边通分，得经检验：原方程的根是x92。例3.解方程：121043323489242387161945xxxxxxxx分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：3143428932874145xxxx即2892862810287xxxx例4.解方程：61244444402222yyyyyyyy分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，-2-于是可先约分。解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()yyyyyyyy约分，得62222202yyyyyy()()方程两边都乘以()()yy22，得注：分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形，因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点，用特殊方法解分式方程。5、中考题解：例1．若解分式方程2111xxmxxxx产生增根，则m的值是（）A.12或B.12或C.12或D.12或分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：xx01或，化简原方程为：21122xmx()()，把xx01或代入解得m12或，故选择D。例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。解：设甲班每小时种x棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：60662xx答：甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。说明：在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示：例1.轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度分析：在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”，有顺水、逆水，取水速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时-3-由题意，得8042740707xyxyxyxy答：水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为17千米/小时。例2.m为何值时，关于x的方程22432xmxxx会产生增根？解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx整理，得()mx110说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根【实战模拟】1.甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）A.SabB.SavbC.SavabD.2Sab2.如果关于x的方程2313xmxm有增根，则的值等于（）A.3B.2C.1D.33.解方程：4.求x为何值时，代数式293132xxxx的值等于2？5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的23，求甲、乙两队单独完成各需多少天？分式化简已知234xyz，则222xyzxyyzzx___________．【巩固】已知345xyyzzx，则222xyzxyyzzx=__________.【巩固】若abcdbcda，求abcdabcd的值.【例1】已知222222()()()(2)(2)(2)bccaabbcacababc，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bccaababc的值.【例2】设1xyzu，2:12:22:3(2):4xyyzzuux，则733xyzu___________．【例3】若xyzxyzxyzzyx，求()()()xyyzzxxyz的值.【巩固】已知xyyzuzuxzuuxyxyz．求xyyzzuuxzuuxxyyz的值．-4-【例4】已知9pqr，且222pqrxyzyzxzxy，则pxqyrzxyz的值等于（）A.9B.10C.8D.7【例5】已知2220(0)xyzyzxzxyxyzabc，求证：222abcbcacabxyz.【例6】已知222222222xyyzzxxyzyzxzxy，求222111111xyyzzxxyz的值。【例7】已知20xx，求2221412211xxxxxx的值.【例8】已知，12abab，，则_______.baab＝【巩固】已知1,12xyxy，求代数式222()3xyxyxy的值.【例9】已知210ab，求代数式22()(1)()aababab的值．【巩固】已知224aa，求121111122aaaaa的值．【例10】已知3abab，求代数式2()4()3()abababab的值【例11】已知：2380xx，求代数式21441212xxxxxx的值．【例12】已知：12xy，4xy，求1111xyyx的值.【巩固】已知210xyxy，求代数式4224xxyyxxyy的值.【例13】已知：111xyxy，求yxxy的值.【巩固】设1114xy，求2322yxyxyxxy【例14】设113xy，求3237yxyxxxyy的值【巩固】如果235xyyx，求2222410623xxyyxy的值.【例15】已知111mn，求575232mmnnnmnm的值.【例16】已知a，b，c为实数，且13abab，14bcbc，15caca，求abcabbcca.【例17】已知13xx，则代数式221xx的值为_________．【巩固】已知：17xx，求221xx的值.【巩固】已知：2213aa，求1aa的值.【巩固】设15xx，求1xx的值.【巩固】若11aa，求1aa的值.-5-【例18】若12xx，求2421xxx的值.【巩固】若13xx，则33441713xxxx=___________【例19】已知a是2310xx的根，求5432225281aaaaa的值.【巩固】设21xaxx，其中0a，则2421xxx【巩固】设211xxmx，求36331xxmx的值.【例20】已知：2510aa，求4221aaa的值.【巩固】已知：2310xx，求221xx的值.【巩固】若2310xx，则74843231xxxxx________．【例21】已知2410aa，且42321533amaamaa，求m.【例22】已知代数式25342()xaxbxcxxdx，当1x时，值为1，求该代数式当1x时的值．【例23】已知10xyzmnpmnpxyz，，求222222xyzmnp的值。【例24】已知30xyzaa，那么222xayayazazaxaxayaza的值为__________。【巩固】若1xyzyzzxzy，则222xyzyzzxxy=______．1.已知232332234abcbcacab，则2332abcabc=____________.2.已知xyzbcacababc，求()()()bcxcayabz的值.3.当220xx时，求代数式32331xxxx的值．4.已知x为实数，且12xx，则441xx=__________．5.已知：210xx，求4521xxx6.已知：210aa，且4232232932112axaaxaa，求x的值.化简求值先化简代数式222aaa÷412a，然后选取一个合适．．的a值，代入求值．（7分）解:方法一：原式＝41)2)(2()2(2)2)(2()2(2aaaaaaaa-6-＝)2)(2()2)(2(42aaaaa＝42a…………………………5分（注：分步给分，化简正确给5分．）方法二：原式＝)2)(2(222aaaaa＝)2(2)2(aaa＝42a…………………………5分取a＝1，得…………………………7分原式＝5…………………………7分（注：答案不唯一．如果求值这一步，取a＝2或－2，则不给分．）考点训练：1、化简：22193mmm2、化简：（12aa-1aa）·aa123、先化简，再求值：232224xxxxxx，其中45x．4、先化简,再求值：222344322aaaaaaa，其中22a．5、先化简，再求值：11abab÷222baabb，其中，21b6、先化简，再求值：22321113xxxxxxx，其中21x．7、先化简，再求值：244(2)24xxxx，其中5x8、先化简，再求值：222a+2b2babab＋＋－，其中a＝－2，b＝13