中档大题规范练3 数列

中档大题规范练3数列1.(2016·课标全国甲)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和.解(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝0，1≤n10，1，10≤n100，2，100≤n1000，3，n＝1000，所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.2.在数列{an}中，a1＝1，a4＝7，an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列an的通项公式；(2)若bn＝1n3＋an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an(n∈N*)，即数列{an}为等差数列，∵a1＝1，a4＝7，∴公差d＝a4－a13＝7－13＝2，∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)∵an＝2n－1，∴bn＝1n3＋an＝1n3＋2n－1＝12·1nn＋1＝12·(1n－1n＋1)，∴Sn＝12·(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝12·(1－1n＋1).3.已知数列{an}是递增的等比数列，满足a1＝4，且54a3是a2，a4的等差中项，数列{bn}满足bn＋1＝bn＋1，其前n项和为Sn，且S2＋S6＝a4.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)数列{an}的前n项和为Tn，若不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.解(1)设等比数列{an}的公比为q，则q1，an＝4qn－1，∵54a3是a2，a4的等差中项，∴2×54a3＝a2＋a4，即2q2－5q＋2＝0.∵q1，∴q＝2，∴an＝4·2n－1＝2n＋1.依题意，数列{bn}为等差数列，公差d＝1，又S2＋S6＝a4＝32，∴(2b1＋1)＋6b1＋6×52＝32，∴b1＝2，∴bn＝n＋1.(2)∵an＝2n＋1，∴Tn＝42n－12－1＝2n＋2－4.不等式nlog2(Tn＋4)－λbn＋7≥3n化为n2－n＋7≥λ(n＋1)，∵n∈N*，∴λ≤n2－n＋7n＋1对一切n∈N*恒成立.而n2－n＋7n＋1＝n＋12－3n＋1＋9n＋1＝(n＋1)＋9n＋1－3≥2n＋19n＋1－3＝3，当且仅当n＋1＝9n＋1，即n＝2时等号成立，∴λ≤3.4.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a3，3a2，a4成等差数列.(1)求等比数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝(n＋2)log2an，求数列{1bn}的前n项和Tn.解(1)由已知6a2＝a3＋a4，则6a2＝a2q＋a2q2，即q2＋q－6＝0，又q0，所以q＝2，an＝2n.(2)bn＝(n＋2)log22n＝n(n＋2)，则1bn＝12(1n－1n＋2)，Tn＝1b1＋1b2＋…＋1bn＝12(1－13)＋12(12－14)＋…＋12(1n－1－1n＋1)＋12(1n－1n＋2)＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝34－2n＋32n2＋3n＋2.5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＋a8＝－10，S10＝－35.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an2n－1}的前n项和Tn.解(1)由题设可得a1＋6d＝－5，2a1＋9d＝－7，解得a1＝1，d＝－1，所以an＝1－(n－1)＝2－n.(2)因为an2n－1＝12n－2－n·12n－1，所以Tn＝2＋1＋12＋…＋12n－2－(1＋2×12＋3×122＋…＋n·12n－1)，令Sn＝2＋1＋12＋…＋12n－2，Sn′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n·12n－1，则Tn＝Sn－Sn′，因而Sn＝2＋1＋12＋…＋12n－2＝21－12n12＝4(1－12n)＝4－12n－2，因为Sn′＝1＋2×12＋3×122＋…＋n·12n－1，所以12Sn′＝12＋2×122＋3×123＋…＋n·12n，以上两式两边相减可得12Sn′＝1＋12＋122＋123＋…＋12n－1－n·12n＝1－12n1－12－n·12n＝2－12n－1－n·12n，所以Sn′＝4－12n－2－n·12n－1，因此Tn＝Sn－Sn′＝n2n－1.