第39练 概率的两类模型

第39练概率的两类模型[题型分析·高考展望]概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点.在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现.体验高考1.(2015·课标全国Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.310B.15C.110D.120答案C解析从1，2，3，4，5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中勾股数只有(3，4，5)，所以概率为110.故选C.2.(2015·山东)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log21x＋12≤1”发生的概率为()A.34B.23C.13D.14答案A解析由－1≤log21x＋12≤1，得12≤x＋12≤2，∴0≤x≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率P＝32－02－0＝34.3.(2015·福建)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x＜0的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16B.14C.38D.12答案B解析由图形知C(1，2)，D(－2，2)，∴S四边形ABCD＝6，S阴＝12×3×1＝32.∴P＝326＝14.4.(2016·课标全国乙)某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B解析如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝10＋1040＝12，故选B.5.(2016·天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13答案A解析事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.高考必会题型题型一古典概型问题例1(1)(2016·课标全国丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130答案C解析第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，所以总的基本事件的个数为15，密码正确只有一种，概率为115，故选C.(2)某班级的某一小组有6位学生，其中4位男生，2位女生，现从中选取2位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：①选取的2位学生都是男生；②选取的2位学生一位是男生，另一位是女生.解①设4位男生的编号分别为1，2，3，4，2位女生的编号分别为5，6.从6位学生中任取2位学生的所有可能结果为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种.从6位学生中任取2位学生，所取的2位全是男生的方法数，即从4位男生中任取2个的方法数，共有6种，即(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4).所以选取的2位学生全是男生的概率为P1＝615＝25.②从6位学生中任取2位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8种.所以选取的2位学生一位是男生，另一位是女生的概率为P2＝815.点评求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件A.(2)分别计算基本事件的总数n和所求事件A所包含的基本事件的个数m.(3)利用古典概型的概率公式P(A)＝mn求出事件A的概率.若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.变式训练1(2016·北京)从甲，乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为()A.15B.25C.825D.925答案B解析从甲，乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为410＝25.题型二几何概型问题例2(1)设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()A.π4B.π－22C.π6D.4－π4(2)在区间[0，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为()A.78B.34C.12D.14答案(1)D(2)B解析(1)如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，所以选D.(2)所求概率为几何概型，测度为面积，则Δ＝4a2＋4b2－4π≥0⇒a2＋b2≥π得所求概率为1－14π2π2＝34.点评(1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题.在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域.几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关.变式训练2(1)已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()A.14B.13C.23D.12(2)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.答案(1)D(2)2e2解析(1)由PB→＋PC→＋2PA→＝0，可得PB→＋PC→＝－2PA→，由向量加法的几何意义可知点P在△ABC的中线AD上，且PB→＋PC→＝PE→，如图所示，由共线向量定理知PE→＝2PD→＝－2PA→，所以PD→＝－PA→，所以P为AD的中点，所以△PBC的面积是△ABC面积的12，根据几何概型可知黄豆落在△PBC内的概率是P＝S△PBCS△ABC＝12，故选D.(2)由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S＝201(e－ex)dx＝2(ex－ex)10＝2[e－e－(0－1)]＝2.又该正方形面积为e2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e2.高考题型精练1.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12B.13C.14D.16答案B解析从1，2，3，4中任取2个不同的数共有6(种)不同取法，其中取出的2个数之差的绝对值为2的有2种不同取法，故所求概率为26＝13，选B.2.(2015·广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D.1答案B解析从袋中任取2个球共有C215＝105(种)取法，其中恰好1个白球1个红球共有C110C15＝50(种)取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为50105＝1021.3.(2016·课标全国甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310答案B解析至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B.4.在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间[0，10]内的概率为()A.π40B.1010C.110D.π4答案A解析设这两个数为x，y，则0≤x≤10，0≤y≤10，构成一个正方形，面积为102，这两个数的平方和x2＋y2∈[0，10]，在正方形中形成的阴影面积为10π4，因此所求概率为10π4102＝π40，选A.5.设a∈[1，4]，b∈[1，4]，现随机地抽出一对有序实数对(a，b)使得函数f(x)＝4x2＋a2与函数g(x)＝－4bx的图象有交点的概率为()A.527B.516C.554D.19答案A解析因为a∈[1，4]，b∈[1，4]，所以(a，b)所在区域面积为9，f(x)＝4x2＋a2与函数g(x)＝－4bx的图象有交点，等价于4x2＋4bx＋a2＝0有解，即是b≥a2，此时(a，b)所在区域如图阴影部分，其面积为3－12(a2－1)da＝3－(13a3－a)21＝53，由几何概型概率公式得到函数f(x)＝4x2＋a2与函数g(x)＝－4bx的图象有交点的概率为539＝527，故选A.6.一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的内部爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为()A.6－π2B.6－π12C.1－π12D.2－π12答案C解析因为三角形的面积为12×3×4＝6，离三角形的三个顶点的距离不超过1的面积为12×π×12＝π2，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P＝6－π26＝1－π12，故选C.7.(2016·四川)从2、3、8、9任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________.答案16解析从2、3、8、9任取两个数分别为记为(a，b)，则有(2，3)，(3，2)，(2，8)，(8，2)，(2，9)，(9，2)，(3，8)，(8，3)，(3，9)，(9，3)，(8，9)，(9，8)，共有12种情况，其中符合logab为整数的有log39和log28两种情况，所以P＝212＝16.8.若袋中5个外形相同的小球，其中红球2个，白球3个，现从中任取2个球，则取出的球中有红球的概率为________.答案710解析5个外形相同的小球，记其中的2个红球为1，2，3个白球为a，b，c.从中任取2个球，共有10种可能的结果，其中没有红球有3种可能的结果.所以有红球的概率为1－310＝710.9.(2016·上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.答案16解析甲同学从四种水果中选两种，选法有C24种，乙同学的选法有C24种.两同学相同的选法有C24种，由古典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为C24C24C24＝16.10.一个三位自然数abc的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当ab且cb时称为“凹数”.若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数abc，则它为“凹数”的概率是________.答案13解析根据题意，当且仅当ab且cb是称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A35＝60(种)取法，在{4，5，6，7，8}中任取3个不同的数组成“凹数”有以下3种取法，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A24＝12(种)；将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A23