第16课时 向量的线性运算

什么？位移后游客的合位移是，那么经过这两次的位移为到景点从景点，的位移为到景点点利用向量的表示，从景ABBAOAAO运算。求两个位移的合位移的于：求两个向量的和，类似应该如何作吗？你知道两个向量的和，向量的加法一.abOAaBb,Oba，①在平面内任取一点和已知向量baOBABOAba即求两个向量和的运算向量。两个向量的和仍是一个)1(法则。叫做向量加法的三角形的方法，定义中得出的求向量和)2(作法：bABaOA,②作babaOB的和，记作：与叫做③则向量注意：则，你想到了什么？由向量加法的三角形法提问：提示：三个向量的关系简记为：向量加法的三角形法则★★★)3(点首尾相连，起点指向终OBABOA（图形）（符号）练习们的和已知下列各组向量求它abcba作：abOABabbaba你有何发现？cba)(:作OABababbaccba)()(cbaBcb)(cba你又有何发现？a0a作：aa)(aa作：你有何发现？)()(:::)4(cbacbaabba结合律交换律向量的加法满足0)(0)5(aaaa个向量相加的法则：n)6(个向量的和。的向量，就是这终点最后一个向量的终点为起点，以第一个向量的起点为个向量，首尾相连，依次作出每n（图形）nnnAAAAAAAAAA01322110（符号）即：个向量的和是则这成一条封闭折线，个首尾相连的向量，组）★若（.07nn001322110AAAAAAAAn（符号）练习：求下列各组向量的和abOABabOBABOAbaabOAaBbOBABOAba你有何发现？bababa)8(同向与ba反向与ba边形法则向量的加法满足平行四★★★)9(abAaBbbaOC.,,,,baOCOOACBOBOAbOBaOAOba的对角线为起点，④则以为邻边作平行四边形③以，②作①在平面内取一点和作法：已知向量对角线简记为：共起点，起点例题FEOAFEBCEDOAABCDEFO)3()2(1.1）（：的中心，作出下列向量为正六边形如图，ABCDEFO2161、练习页第教材练习化简下列各式.2FABCCDDFAB)1(OMBCBOMBAB)())(2(COBOOCOA)3(其航向应如何确定？江，。渡船要垂直地渡过长渡船的速度为的速度向东流，江水以在长江南岸某渡口处，hkmhkm/25/5.12.3的取值范围是则BCACBA,8,10.4向量的减法二.如何定义的？我们学过的数的减法是中，请同学们回顾一下在初减法定义向量的减法也类似数的义吗？你能给出向量减法的定.的逆运算向量的减法是向量加法的差，与叫做则向量若baxaxb,ba记作：叫做向量的减法。求两个向量差的运算，吗？已知两个向量的差角形法则作出，你能利用向量加法的三加法的逆运算，既然向量的减法是向量ba定义.1:注意向量两个向量的差仍是一个abObxBAaba:(.2三角形法则）向量减法的作法★★★O①在平面内任取一点bOBaOAO,为起点，作②以BAOBOAba③则简记为：减共起点，连终点，指被（图形）BAOBOA（字母）练习dcbadcba和作出：如图，已知向量,,,,abcdOaABbbaCcDdDCODOCdc你有何发现？baba，作出：和已知下列各组向量abOAaBbBAOBOAbaabOAaBBAOBOAbaaa你有何发现？如何证明？是否也是这样？若是，运算中，那么，在向量的加减法个数的相反数，减去一个数等于加上这算，而且，减法不光是加法的逆运们知道：在数的加减运算中，我bababa.3反向与ba同向与ba)(.4baba)(baba5163～练习页第教材练习移项法则：.5acbcba例题三.CDBDACAB)1(化简下列各式.1COABOBAC)2(ADDCAB)3(OAacbcOCbDAaABABCDO试证明：若的对角线的交点，是平行四边形如图，,,,.2ABCDOabcCBAB)4(ODcbaCBAO则向量分别为的点到平行四边形的三个顶如图，已知,,,,,.3OABCD以上均不对是正方形是矩形是菱形则必有中，若在平行四边形....,.4DABCDCABCDBABCDAABBCBABCABCD平行四边形正方形菱形矩形是则四边形中，在四边形....,.5DCBAABCDCAADABABCD外心内心重心垂心的是则内一点，是若....,0.6DCBAABCOOCOBOAABCO的取值范围是则BCACAB,8,10.7的方向此时向量，的最大值为则，，的模分别是已知cbacbacba,,.321,,.8的形状是则，若的外心是设ABCOCOBOAABCO0,.9，分别是处所受力的大小和，则，上，吊在水平杆子的物体如图，用两根绳子把重BABCWACWABWkg12015010.10ABW120150COCOBOAOHHABCO求证：是垂心，的外心，是设.12的最小值为的中点，则为满足一动点，，其长度为已知平面内有一条线段PMABMPBPAPmmAB,6)6(.11向量的数乘四.引例aaaa:作OAaBaCaaaa3aaaa:作OAaBaCaaaa3aa向量的数乘.1,aa的积是一个向量，记作与向量实数aa)1(方向相反；与时，当方向相同；与时，当aaaa00)2(000aa或相乘与向量实数a规定：向量的数乘的运算律：.2babaaaaaa)()3(;))(2(;)()()1(★注意：律与实数的运算律相同向量的线性运算的运算算。乘统称为向量的线性运向量的加法、减法、数练习baaba325.2,).1(和求作向量和向量已知向量ba计算).2()243(3)362(2);2(2)(3cbacbababa②①OPOBOARtABtAPOBOA表示和试用是不共线向量，和已知),().3(的模求向量已知非零向量aaa1,).4(方向相同的单位向量。表示与向量aaa1.3★★★线性表示。分别用并把共线，与共线，与求证：边上的三等分点，的边分别是和如图BCNFEMNFBCEMBCACABABCNMFE,,,,).5(ABCEFMN共线；与那么，使如果有一个实数abaab),0(abaab使那么有且只有一个实数共线与如果,,)0(向量共线定理★★★.4式线段定比分点的向量公.5为平面内任意一点）则的任意一点，，上不同于为直线如图，OOPOPOPPPPPPPPPP(1),1(212121211P2PPO★★★记住证明）(例题向量的线性运算.1)76(4131)3432)1(babba（化简)2(32()31(,2,23)2(abbabajibjia）求设向量解线性向量方程（组）.2xbcxbax求（）已知（,0)3(21)3121byxayx2121)2(解方程组识图计算.3MNONOMbaCDCNBCBMAOBDbOBaOA,,,,31,31,)1(表示用又，为边作平行四边形如图，以向量ADBOCNMabEFFEBDACcbaCDcaABABCD则中点分别为对交线中，已知四边形,,,,865,2)2(ODAODODAOCODAOBODAOAOCOBOABCDABCO2.3.2..,02)3(）那么（且的中点，为所在平面内一点，是已知BCbBEaADACBCABCBEAD则且上的中线，的边分别是设,,,,)4(心”）心”、“垂心”、“重（选填“外心”、“内的一定过的轨迹则点满足动点点，是平面上三个不共线的是平面上的一定点，设ABCPACABOAOPPCBAO,,0),(,,)5(向量共线定理的应用.42166、练习页教材第先讲作业三点共线。求证：不共线，如果已知向量DBAeeCDeeBCeeABee,,,84,236,32,)1(21212121的重心为上，且在上，且在上，且在则下列结论正确的是满足关系式：与不共线三点平面上点ABCPDPCBPBCPCPBAPABPBPACPCAPAABPCPBPACBAP.2.2.2.)(,,,)2(的形状是则四边形中在四边形ABCDbaCDbaBCbaABABCD,35,4,2,)3(反之，也成立。使得：，，且，三点共线，则存在实数若;1,,)4(OBOAOCCBA★★★记住证明是共线向量；与那么使得的实数①如果存在不全为证明babtasts,0,,0:)5(.0,0tsbtasba那么不共线，且与②如果记住直接用）★★★(推论21212211,那么不共线，且与如果bababa记住直接用）★★★(的应用线段定比分点向量公式.5OCbOBaOACBACCBAOCOBOA,,,3,,,,设且在一条直线上，的终点如图，OCAB平面向量基本定理★★★五.引例的两个分速度向上和水平向前，速度可以分解成竖直导弹在升空的某一时刻vyvxv不共线方向的力的和。一个力可以分解为两个形法则中，我们也看到在力的分解的平行四边示呢？两个不共线的向量来表以用平面内任一向量是否可是平面内任一向量。量，是平面内两个不共线向设aee21,1e2eaOA1eBC2eaNMaONOM2211ee平面向量基本定理★★★.122112121,eeaaee，使，有且只有一对实数，任一向量那么对于这一平面内的线向量，是同一平面内两个不共如果相关概念.2有向量的一组基底。叫做表示这一平面内所不共线的向量,,)1(21ee我们称为向量的分解。的形式，表示成用一组基底）一个平面向量（221121,2eeaeea.,21分解也叫正交分解所在直线垂直时，这种当ee论平面向量基本定理的推★★★.30,0,,121221121那么且线向量是同一平面内两个不共）如果（eeee22112211221121,,,2那么且线向量是同一平面内两个不共）如果（eeeeee注意：★.4使问题便于研究。利用同一组基底表示，有向量，我们经常把平面内所在作向量的线性运算时量基本定理的应用向量共线定理和平面向.4MBMAMCbabADaABMBDACABCD,,,,,表示试用基底，交于点和的对角线如图，平行四边形ADBCM一组基底表示。将平面内每个向量用同)1(则，，若，且，的夹角为与，的夹角为与其中，量如图，平面内有三个向OBOAOCOCOBOAOCOAOBOAOCOBOA32130120,,OABC三点共线。求证：。上一点，是的中点，点是中，如图，在平行四边形CNMBDBNBDNABMbABaADABCD,,31,,ABCDMNab线研究向量共线和三点共)2(kDBAeeCDeeCBekeABee则三点共线，若是两个不共线向量，且,,,2,3,2,21212121的一个三等分点。是：，试用向量的方法证明于交的中点，是中，如图，平行四边形BDMMBDAEDCEABCDABCDME列方程的重要手段)3(.,21,31,,,OPbaPBMANbONaOMOBOANMbOBaOAOAB表示，用交于与，设上的点，且，分别是中，如图，在OABMNP的值。，求相交于点与，且上，在边的中点，点是中，点如图，在PMAPPBNAMNCANACNBCMABC:2ABCMNP