第19课时 两角和与差的三角函数及二倍角公式(精编版）

题：前面所解决过的一道习我们一起来回顾一下在你能发现什么？比较两次计算的结果，及试分别计算：设向量.cos),15sin,15(cos),75sin,75(cos2121yyxxbabababacosbaba)1575cos(15sin15cos75sin75cos2222)1575cos(2121yyxxba15sin75sin15cos75cos两角和与差的三角函数一.有趣的式子：由此，我们得到一个很15sin75sin15cos75cos)1575cos(角的三角函数值表示。角和可以用的值它告诉我们：1575,)1575cos(的结论吗？启发？你能得到更一般通过这个例子，你有何)sin,(cos2P)sin,(cos1P)sin,(cos1OP)sin,(cos2OP一方面另一方面所以)cos()cos(2121OPOPOPOPsinsincoscos21OPOPsinsincoscos)cos(两角差的余弦公式.1sinsincoscos)cos(两角和的余弦公式.2)cos()sin(sin)cos(cos)(cossinsincoscos推导角的代换sinsincoscos)cos(两角和的正弦.3)sin()(2cos2cossin2sincos2cossincoscossinsincoscossin)sin(两角差的正弦.4)sin()(sin)sin(cos)cos(sinsincoscossinsincoscossin)sin(两角和与差的正切.5)tan()cos()sin(sinsincoscossincoscossincoscossinsincoscoscoscossincoscossintantan1tantantantan1tantan)tan()tan()tan(tan1)tan(tan)(tantantan1tantantantan1tantan)tan(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(2sincossin22cos22sincos2sin211cos22倍角公式.1★★★升幂缩角降幂扩角二倍角公式二.公式的变形）降幂公式（二倍角余弦.22sin22cos12cos22cos12tan2tan1tan2倍半具有相对性；在谈论半角、倍角时，)3(注意：；式有意义的任意角替换公式中的角可以用使公)1(的变形；尤其是二倍角余弦公式变形用，公式要会正用、逆用、)4(、形、次的变化）注意公式两边角、名（2目前所有三角公式三.同角关系.11cossin22cossintan诱导公式.2变偶不变。口诀：符号看象限，奇两角和与差的三角函数.3sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(倍角公式.42sincossin22cos22sincos2sin211cos222tan2tan1tan2公式的变形）降幂公式（二倍角余弦.52sin22cos12cos22cos1常用变形.62)cos(sincossin212sin122cos2sinsin122cos2sinsin12cos2cos122sin2cos12)tantan1)(tan(tantan)tantan1)(tan(tantan2)cos(sincossin212sin1求下列三角函数值：.1例题四.求值一.105sin2）（165cos)3(15cos15sin2)5(5.22cos5.22sin)6(2220cos20sin10cos2)7(40sin160cos140cos200sin)4(15tan,15sin,75cos)1(15tan115tan1)8(基础例题的值。求已知)cos(,23,,53cos,,2,32sin.2★★★给角求值：用已知角表示未知角的值。求均为锐角，已知sin,,54cos,135)cos(.3的值。求已知cos,9030,1715)30cos(.4的值。求已知2tan,2cos,2sin),,2(,1312sin.5.2cos),2,23(,54)cos(),,2(,54)cos(.6求已知:注意★三角求值总方法：.1名、形、次上的统一。促成已知和未知在角、联系，、名、形、次的特征和大力观察已知和未知角)1(特别注意：在求三角函数值时，应.2，角的范围的论证。三角函数值符号的判定系。转化为同角三角函数关)2(；想公式。简说：角、名、形、次)3(的值求已知)cos(,54coscos53sinsin.7★★★给式求值：把未知用已知加以表示由已知直接变出未知的值。求：已知)cos(,0coscoscos,0sinsinsin.8的形状。判断中，已知在ABCBABAABC,sinsincoscos.10的值。求已知tantan,51)sin(,32)sin(.9的值。求均为锐角，，且已知,52cos,101sin:.11求角的方法：某一个三角函数值；角不离值，先求该角的)1(.)()2(的函数值一一对应是单调的最大范围内，一般说来，选择在该角4.12形相接，求证：如图，三个相同的正方三角函数二.的最大值求函数xxycos23sin21.1的值域。求函数2,2,sincos.3xxxy的值域。求函数xxycossin3.2的值域。求函数xxycos4sin3.4辅助角公式：★xbxaxfcossin)()cossin(222222xbabxbaaba2222sin,cosbabbaa令)sincoscos(sin22xxba)sin(22xbaxbxaxfcossin)(则注意：。化成一角一函数的方向把论上为我们指出了：辅助角公式一般仅在理xbxacossin.1的正弦或余弦公式。差角和然后在根据需要逆用两的形式变成从而把提出因子把，先老老实实：一般说来，具体操作时)()cossin(:cossin,cossin.222222222xbabxbaabaxbxabaxbxa骤：研究三角函数的一般步.3化成一角一函数；)1(用换元法。)2(提升例题求值一.的值。求且已知)cos(,20,135)32sin(,53)3cos(.1的值。求中，已知在CBAABCcos,53sin,135cos.250sin10cos)310(tan.3求值：AA2sin,135)4cos(.4则若tan1)cos(sincos2,21)4tan(.8求已知)232cos(,31)6sin(.5则若)26sin(,41)6sin(.6则已知)42cos(,232,53)4cos(.7则且已知的值。求且其中已知向量)82cos(,528,2,),cos,sin2(),sin,(cos.9nmnm70sin50sin30sin10sin.102cos2121212123.11，则，若10tan60tan60tan20tan20tan10tan.12//3022tan3067tan.13的值。求若和）求（，互相垂直，其中与已知向量cos,20,1010)sin()2(;cossin1.20)cos,1()2,(sin.13ba的值。）求（的值；）求（的横坐标分别为两点。已知位圆交于，它们的终边分别与单，作两个锐角轴为始边以中系如图，在平面直角坐标22)tan(1.552,102,,,.14BABAoxxoy三角函数二.的值。相应的最大值和最小值，及求已知xxfxxxxxf)(,cos3cossin2sin)(.122上的值域。，在区间）求函数（的单调减区间；）求函数（的对称轴和对称中心；）求函数（的值；）求（。的最小正周期为已知函数320)(4)(3)(21)0)(2sin(sin3sin)(.22xfxfxfxxxxf的值域。求函数2,2,1cossincossin.3xxxxxy.,1.422范围求已知yxyx的大小关系为则若,,,cossin,cossin,40.5baba的取值范围是恒成立，则实数对于任意的已知mxmxxxxf6,65,0264cos64cos4sin23)(.62的取值范围。试求若其中向量）设向量（；求向量且，的夹角为与），向量，（已知向量bnanxxxbannmmnm,0,320,23cos2,cos),0,1(2)1(.14311.72的取值范围。求实数上恒成立，在）若不等式（的最大值和最小值；求已知函数mxmxfxfxxxxf2,42)(2)()1(.2,4,2cos3)4(sin2)(.82的值。，求，，值域为，的定义域为已知函数babaxxaxaxf,15202cossin32sin2)(.92的最大值为则若xyyxyx2222,4.10的值。值及相应的求这个矩形面积的最大上，在上，点在使点作扇形的内接矩形弧上任取一点的扇形圆心角为在半径为如图AOPOBNMOAQPNMQPABR,,,60,,.11的值。，求已知sin,2,314sin.1的值。求已知)sin(,23,,53cos,,2,32sin.2.2cos),2,23(,54)cos(),,2(,54)cos(.3求已知的值。求的两根，是方程已知)tan(065tan,tan.42