第37课时 直线与平面的位置关系

位置关系？种的关系。空间直线有几平面观察直线和在长方体ABCDDCBAABCD1111ABCD1A1B1C1D位置关系公共点符号表示图形表示内在平面直线a有无数个公共点a相交与平面直线a一个公共点有且只有Aa平行与平面直线a没有公共点∥a直线与平面的位置关系一.注意：.aa记作在平面外。相交或平行统称为直线与平面直线，为什么？平面∥直线中，提问：在长方体ABCDBADCBAABCD111111直线与平面平行二★.ABCD1A1B1C1D定理★直线与平面平行的判定.1文字语言平面平行。条直线和这个一条直线平行，那么这这个平面内的如果平面外一条直线和图形语言ab∥∥ababa符合语言简记为：。线线平行，则线面平行。平面∥的中点。求证：侧棱的分别是三棱锥如图，已知BCDEFADABBCDAFE,,)1(练习）判断正误（2）直线平行。（的任意一条这条直线和这个平面内面平行，那么如果一条直线和一个平的位置关系为的任意一条直线这条直线和这个平面内平面平行，则）如果一条直线和一个（3问题：直线平行？它和这个平面内的哪些行，那么一条直线和一个平面平定理★★★直线与平面平行的性质.2文字语言平行。那么这条直线和交线的平面和这个平面相交经过这条直线面平行如果一条直线和一个平,,图形语言babaa∥∥符号语言简记为：。线面平行，则线线平行练习。页练习：教材第31BDEHFGEFDACDBCABABCDHGFE∥求证：∥上的点，且的边为空间四边形已知.,,,,,,.1例题直线也和它们平行。直线平行，那么第三条其中两条于三条直线如果三个平面两两相交,.2PADMNABCDPCABNMABCDP平面∥求证：是平行四边形，的中点，若分别是中在四棱锥如图,,,,.3PABCDMN画线？将木块锯开，应该怎样和棱内一点所示，要经过平面一个长方体木块，如图BCPCA11.4ABCD1A1B1C1DP.,,,.51111111DABCEFDBDDFEDCBAABCD∥的中点，求证：分别是点中如图在正方体ABCD1A1B1C1DEF.,.61111111DABOCABCDODCBAABCD∥对角线的交点，求证：是底中如图在正方体ABCD1A1B1C1DO。平面∥求证：的中点，是，如图，在三棱柱11111.7CDBACABDCBAABCABC1A1B1CDBDEAFDADCFEDCBAABCD平面∥的中点。求证：，是分别中如图，在长方体11111111,,.8ABCD1A1B1C1DFEBBAAMNDNCMCBMBDNDCBAABCD1111111..9平面∥求证：上，且在上，点在点中，如图，在正方体MNABCD1A1B1C1D点的位置。，试确定平面∥，使上有一点若在棱的中点分别是中，在正方体PPMNBDPDDBCABNMDCBAABCD111111,,,.10ABCD1A1B1C1DMNABCD1A1B1C1D直线与平面垂直★三.引例：问题1垂直的直线吗？你能举出与平面ABCD垂直的平面吗？你能举出与直线11BA：问题2：问题3垂直的直线吗？你能举出与平面11BCDA？线面垂直印象的实例吗你留下你能举出日常生活中给.,请举出一对线面垂直观察圆锥SO：问题4为什么？。垂直于平面直线一条直线都垂直，则称内的任意和一个平面如果一条直线aaa记作：直线与平面垂直的定义.1直线与平面垂直的画法.2a的垂面直线a的垂线平面A垂足线面垂直的性质★.3文字语言条直线垂直。和这个平面内的任意一那么这条直线面垂直如果一条直线和一个平,图形语言mama符号语言简记为：则线线垂直。线面垂直,?5知直线垂直过一点有几个平面与已已知平面垂直？：过一点有几条直线与问题定理.4面与已知直线垂直。过一点有且只有一个平线与已知平面垂直；过一点有且只有一条直点到平面的距离.5的距离。叫做这个点到这个平面间的距离这个点和垂足垂线从平面外一点引平面的,,定理.6文字语言个平面。那么另一条也垂直于这一条垂直于一个平面，如果两条平行直线中的图形语言baba∥符号语言：问题6到折痕与桌面垂直。桌面上，我们可以观察竖立在后略为展开将一张矩形的纸片对折,你有何感悟？定理★直线与平面垂直的判定.7文字语言这个平面垂直。垂直，那么这条直线和面内的两条相交直线如果一条直线和一个平图形语言anmPnmnama符号语言简记为：。线线垂直，则线面垂直：问题7给我们以怎样的印象？这些电线杆底面路边的电线杆都垂直于,你有何感悟？baba∥定理直线与平面垂直的性质8文字语言两条直线平行。一个平面，那么这如果两条直线垂直于同图形语言符号语言的距离相等。上各点到平面求证：直线平面∥已知：直线ll练习直线和平面的距离.9个平面的距离。叫做这条直线和这一点到这个平面的距离这条直线上任意行一条直线和一个平面平,,注意：是求点面距离。）求线面距离的本质就（1。必须首先证明线面平行在求线面距离时,)2(.)3(;)2(;1.1111111111ACBBDDBDBACABCDAADCBAABCD平面平面平面）（中，求证：在正方体例题.,2)1(.,.2PBCAHHPCAHPCAHABCPABACOAB平面求证：，于交且）若（角形？图中共有多少个直角三平面的任意一点，上异于是圆周的直径，是圆如图，..,,,,.3PBEFFEPCAFPBAEBCACABCPAPABC求证：为垂足分别若，平面中，如图，在空间四边形都是直角三角形。和求证：且使，平面，作的垂心过锐角APCBPCAPBABCPHHABC,90.4.2,,60.5ABCDPAaPDPBaACPAABCABCDP平面求证：。中，在底面是棱形的四棱锥.21,,2,,,.6EDBAFABCFDBEFaDCaABEAABCCDEAABC平面）（；平面∥）（的中点，求证：是，且于平面都垂直是正三角形已知如图EABCDF.2)1(,.,,,,,.7BCDFGCDEBCECDEAEADECEADFGECDAEABCABCDABABCD平面∥）（；平面求证：，使得折叠沿现将的中点分别为，，垂足为作过点∥中已知在直角梯形ABCDEGFABCDEFG。平面∥；平面的中点。求证：，分别是中在长方体如图BDEAFBCEDEDADCFEaABaADAADCBAABCD)2()1(,,2,,,.8111111111ABCD1A1B1C1DFE..90,22,,,.9ACDBDBDCaEFaBDACBCADFEABCD平面求证：的中点，若分别是中，在空间四边形CDMNPCABNMABCDPA求证：的中点。分别是所在的平面，矩形如图，已知,,.10111111.11ACDOEABCDOBBEDCBAABCD平面求证：的中心。是底面的中点，是中，如图，在正方体的位置关系是和则直线的公垂线，和是异面直线中，在正方体111111.12BDEFDAACEFDCBAABCD.)2(1.,.14SDAGGSDAEFSCAFFSCEFESBAEABCDSAAABCD，求证：于交若平面）求证：（于作于作，平面作，过如图，已知矩形.,,.;,,.,,.;,,.,.14bbabaDabbaCbabaBbabaAba或∥则∥∥若∥则∥若；∥则∥∥若∥则∥若），下列命题正确的是（和平面已知直线.,,,)3(;,,,,2,1,,.15nlnmmllnlmlnmllnml∥则∥若则）若（相交；与则）若（确。，判断下列命题是否正与平面已知直线不存在内所有直线是平面有无数条有且只有一条）垂直的直线（直线内与不垂直，那么在平面与平面若直线.....16DCBAaa其中正确命题的个数为∥④∥∥∥③∥②∥①给出下列四个命题：bbaabbaababababa.17)(.,,)2()(;,,1.18nlnmmlnlnmml∥∥∥∥）（判断题：BDACBCADCDABBCDA求证：，中在三棱锥如图,,,.14.3,.14MNABNBANABNPCMPABBCPBPAPABC，求证：上一点，且为的中点，为，平面，所在的平面外一点在直线在平面内直线和平面平行直线和平面相交图形，有何不同？请同学们观察下面两个关系呢？面的这种相对位置我们如何刻画直线和平斜线和平面所成的角四.点在平面内的射影.1AB这个平面上的射影。垂足叫做这点在过一点向平面引垂线，平面的垂线段。，叫做这点到这个这个点与垂足间的线段BAC.2直线叫做这个平面的这条但不和这个平面垂直交，一条直线和一个平面相,斜线。斜线和平面的交点叫做斜足。叫做这点到这个平面的线段斜线上一点与斜足间的,斜线段。.3叫做和斜足的直线过垂足向平面引垂线点过斜线上除斜足以外的,,,影。斜线在这个平面上的射做这点到平面的垂足和斜足间的线段叫射影。斜线段在这个平面上的注意：★关键要证明在说明斜线的射影时,线面垂直。的射影？如何做出斜线在平面上的射影，问题：类比点在平面上AOBC你有何发现？影，垂线段和斜线段及其射平面的观察：从平面外一点引ABAOACAOACABCOBOCOBOACABACABCOBOCOBOACABACBO4.定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，（1）射影相等,斜线段相等;射影较长,斜线段较长.（2）斜线段相等,射影相等;斜线段较长,射影较长.（3）垂线段比任何一条斜线段都短点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的心。PCBAO练习外平面的一条斜线和它在这个平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。（1）一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；（2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。（3）直线和平面所成角的范围是[0，90]。★5.斜线和平面所成的角注意：（4）作斜线和平面所成的角的关键是找斜线的射影。练习提问：两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？已知斜线段的长是它在平面β上射影的2倍，求斜线和平面β所成的角。βABO如图，斜线段AB是其射影OB的两倍，求AB与平面β所成的角。判断：如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行（）注意（记住,可用）:两条平行线和一个平面所成的角相等。例题所成的角。与平面）求（所成的角；与平面）求（所成角的余弦值；与平面）求（的中点。，分别是中，如图，在正方体ABCEFBBAEFABCBDDAAAFEDCBAABCD321,.11111111111的平分线上。内的射影在在平面求证：点内在平面已知如图BACPPACPABPBAC,,,,.2ABCP（记住）所成的角。与平面求中，如图，在正方体CDBABADCBAABCD1111111.3所成的角。与平面上的高，求是斜边和所成的角分别为与和内，在平面的斜边已知CDABCDBCACABABCRt,4530.4的距离。和平面，求直线中，在长方体1111111113,4,4.5BCDACBAABCABDCBAABCD的距离。到平面求点两两垂直外一点为如图ABCPaPCPBPAPCPBPAABCP,,,,,,.6所成的角。与平面）（所成的角的正切值；与平面）（上的射影，求：在平面是的距离，到的长等于点斜边是等腰直角三角形，如图，PCDPBBCDPBBCDPDBCPCDBCD21.5的距离为平面到则点直角边的距离是到两的距离是到直角顶点所在平面外一点已知ABCPcmcmCPABCRt,106,24.6的距离。到平面，求距离为的到平面