第3课时 函数的奇偶性

思考么特征？这些图片在形状上有什轴对称）（特征：图象关于？是如何体现这一特征的函数在y数上为例，举例说明：）以（2)(2xxf以下问题观察下列图形，并回答?)1(上有什么共同特征这两个函数图像在形状xy0123-1-2-3123456782)(xxf数上体现为：同自变量相反，函数值相形上体现为：轴对称图象上一对点，关于y……轴对称）关于，）和（，（y1111……轴对称）关于，）和（，（y4242函数值相同）（特征：自变量相反，的这一特征呢？表示函数在般性地问：如何用数学语言一数上1)1()1(ff4)2()2(ff准确地说：是偶函数。这时称，都有内的任意对于22)(,)()(xxfxxfxfxR为偶函数。则称函数，都有如果对任意的。的定义域为设函数)()()()(xfyxfxfAxAxfy定义吗？问：你能给出偶函数的偶函数.1对称）（特征：图象关于原点？是如何体现这一特征的函数在数上为例，举例说明：）以（xxf1)(2答以下问题：再观察下列图形，并回类比刚才的学习：?)1(上有什么共同特征这两个函数图像在形状1)1()1(ff21)2()2(ff31)3()3(ff函数值相反）（特征：自变量相反，的这一特征呢？表示函数在般性地问：如何用数学语言一数上数上体现为：形上体现为：反自变量相反，函数值相原点对称图象上一对对点，关于是奇函数。这时称，都有定义域的任意对于xxfxxfxfxxxf1)(,1)()(1)(定义吗？问：你能给出奇函数的为奇函数。则称函数，都有如果对任意的。的定义域为设函数)()()()(xfyxfxfAxAxfy奇函数.2注意具有奇偶性。则称函数是奇函数或偶函数，如果函数)()()1(xfxf整体性质。函数的奇偶性是函数的)2(下列判断是否正确？上的函数对于定义在),(xfR是偶函数。则函数若)(),2()2()1(xfff不是偶函数。则函数若)(),2()2()2(xfff不能用特殊值代替。上的恒等式，都是定义域和xxfxfxfxf)()()()(概念剖析在奇偶函数的定义中：)3(偶）(0)()()()(xfxfxfxf奇）(0)()()()(xfxfxfxf形：Axxfxfxf),()()(为偶函数轴对称。的图象关于为偶函数yxfxf)()(轴对称。图象关于y在奇偶函数的定义中：)4(偶函数)5(数：同自变量相反，函数值相即形：Axxfxfxf),()()(为奇函数的图象关于原点对称。为奇函数)()(xfxf图象关于原点对称。奇函数数：反自变量相反，函数值相即，有奇偶性吗？函数2,3,)(2xxxf概念剖析具有奇偶性？上做适当的修改使之如何对函数在数或形问：问：从中你有何感悟？定义域关于原点对称。：具有奇偶性的前提条件）函数★（)(6xf)0(,0,),(.1fAAxxfy则且为奇函数若吗？既是奇函数又是偶函数存在函数)(.2xf是奇函数或偶函数。则满足上的函数定义在判断正误)(,)()(),(.3xfxfxfxfR满足的条件为则是偶函数，若函数cbacbxaxxf,,)(.42思考的奇偶性：从函数角度来理解函数★)7(偶函数是同一函数。和说明恒成立，)()(),()(xfxfAxxfxf。是常数函数说明恒成立，0)()(,0)()(xfxfAxxfxf奇函数同理理解.0)0(,0),(8fAAxxf则且是奇函数，）若函数★（。定义域关于原点对称）则数，既是奇函数，又是偶函若函数(0)()()9(xfxf对应法则的功能。）函数的奇偶性主要是（10误的举反例。）正确的严密证明，错（11一半即可。经常只需研究定义域的方法：）奇偶函数的常用研究（121)()1(2xxfxxf2)()2(xxf2)()3(2)1()()4(xxfxxxf5)()5(3判断下列函数的奇偶性例题性证明、判断函数的奇偶一.xxxxf11)1()(6）（0,20,2)(722xxxxxxxf）（的方法：证明、判断函数奇偶性图像法.1定义法.2（小题）主要核心方法）(:步骤）求定义域（1对称。看定义域是否关于原点猜奇偶性)2(明确。使得判定（证明）目标从而排除一种可能，和计算，和的自变量在定义域内取一对相反),()(0000xfxfxx判断）证明()3(是否恒成立。或)()()()(xfxfxfxf是否恒成立。或）★一般是，判断（证明0)()(0)()(xfxfxfxf:.3奇偶性规律和、差、积、商函数的jj①jooooj不定jj②ooooojjjj③ooojjooojjmmmmxxmmxf是奇函数，则已知函数43)32()(.1222的值域是则其定义域为为偶函数，已知函数)(,2,13)(.22xfaababxaxxf0..0.0.)(.322baDbaCbaBabAbaxxxf）为奇函数，则（已知参数的取值范围已知函数的奇偶性，求二.上的解析式。在求时且当上的偶函数是已知函数RxfxxxfxRxf)(),1()(,,0,)(.1上的解析式。在求时，且当上的奇函数是已知函数RxfxxxfxRxf)(),1()(,0,)(.23求函数解析式三.的解析式。和求是奇函数，且是偶函数，若)()(,11)()()()(.3xgxfxxgxfxgxf)2(,10)2(,8)(35ffbxaxxxf则且已知上是增函数。在区间试证：是减函数（上是偶函数，它在区间已知abxfabbaxf,)().0,)(.1构造奇偶函数解题四.奇偶性与单调性的联系五.最小值为；上的最大值为，区间在，则，最小值为最大值为上是增函数，且，在设奇函数37)(1873)(.2xfxf结论：单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同。奇函数在对称区间上的的取值范围。求实数满足单调减函数，若上的奇函数，且是，是定义在已知aafafaxf,0)1()1(11)(.32的取值范围。求实数上是单调减函数。若，在区间上的偶函数，设定义在mmfmfxf),()1(20)(22.4对称直线对称直线对称直线对称直线）的图象关于（是偶函数，则函数若函数21.21.1.1.)()1(.1xDxCxBxAxfyxfy解题利用奇偶函数的对称性六.)0()1()2(.)0()2()1(.)2()0()1(.)2()1()0(.20)2()(.2fffDfffCfffBfffAxfyxfy）上是单调减函数，则（，在是偶函数，已知函数）（则时，若当上的奇函数，是定义在设5.7,)(10),()2()(.3fxxfxxfxfRxf实数根之和是的所有轴有四个交点，则方程是偶函数，其图象与已知函数0)()(.4xfxxfy成立。有求证：对任意，，使）若存在常数（是偶函数；求证：求证：其中有，对任意定义在实数集上的函数)()(,0)2(3)()2(;1)0()1(.0)0(),()(2)()(,,)(xfcxfRxcfcxfyffyfxfyxfyxfRyxxf