第56课时 导数在研究函数中的应用

1问题么？的导数的代数本质是什函数)(xfy2问题么？的导数的几何意义是什函数)(xfy3问题的导数的作用是什么？函数)(xfy4问题性质有关？的导数与函数哪方面的函数)(xfy单调性单调性★一.5问题有怎样的关系？的导数与函数的单调性函数)(xfy结论.1上是增函数在那么上如果在区间),()(,0)(),(/baxfxfba上是减函数在那么上如果在区间),()(,0)(),(/baxfxfba理解上面的结论的图形直观xoyxoyab0)(/xfab0)(/xf6问题的单调区间？如何利用导数来求函数)(xfy单调区间的算法求函数)(.2xfy一求：二解：区间）写出函数的增区间（减)(/xf)0)(0)(//xfxf（或三结论：的单调减区间求函数))2,0((sin)(.2xxxf的单调递减区间为函数xxyln23.32例题间确定下列函数的单调区.1的定义域和)(xfxxxgxxxf14)()2(762)()1(237问题征？单调区间的端点有何特)(不等式法注意：.)(0)(的间断点的根或单调区间的端点是方程xfxf单调区间的算法★求函数)(.3xfy一求：)()(xfxf的定义域和二解：0)(xf三列：列表处；间断无意义的根和从小到大列出)()(0)(xfxf四定号：从而确定单调性；合确定个区间上导数的符,五结论：.根据列表写出单调区间)(列表法.14)(.4的单调递增区间为函数xxxg.ln23.52的单调递减区间为函数xxy.)3()(.6的单调递增区间为函数xexxf注意：区间；单调区间习惯都写成开利用导数求出的函数的)1(定义域优先；★研究函数的任何性质,).2(;)3(取并集求出单调区间不要轻易.,)4(可以画出函数的示意图利用函数的单调性.ln)(.7的单调递减区间为函数xxxf.2,0,sin21)(.8区间为的单调递增函数xxxxf.,)1,1(ln2)(.92是的取值范围则实数内不是单调函数区间在其定义域内的一个子函数kkkxxxf..10的单调性讨论函数xkxy.,71862)(.1123示意图为为的单调增区间函数xxxxf.,.122示意图为的单调减区间为函数xexy.9132的单调减区间为函数xxy.,ln.14示意图为单调增区间为函数xxy.,3.152示意图为的单调减区间为函数xxy.,,,1,2,53.1623为最小值最大值为示意图为为的单调增区间函数xxxy.)(,1,ln)1(21)(.172的单调性试讨论函数其中已知xfaxaaxxxf8问题上是增函数在区间那么上如果在区间我们知道，),()(,0)(),(/baxfxfba吗？那么在该区间上必有上单调递增，在区间如果0)(),()(xfbaxf不一定充分不必要条件。上是增函数的在区间只是上在区间也就是说，),()(0)(),(baxfxfba3xy例：9问题充要条件是什么呢？上是增（减）函数的在区间函数),()(baxf条件是：上递增（递减）的充要在区间),()(baxf)(补充定理上恒成立；）在区间）（),(0)((0)(1baxfxf.0)(),(2不恒等于内的任何子区间上）在（xfba.0)(上是减函数，在区间证明函数xexfx调性利用导数证明函数的单.4方法：利用定理本质：恒成立问题注意：）了，就没有必要考虑定理（上已经恒成立了，在区间如果2),()0)((0)(baxfxf这种情况最理想的练习10问题的图象观察下面函数)(xfxoy？图象上有哪几个关键点函数)(xf1x2x))(,(11xfx))(,(22xfx11问题特征？函数的这些关键点有何函数的极值二.极大值.1的一个极大值。是函数则称要大，比它附近点的函数值都如果)()()(00xfxfxf极小值.2的一个极小值。是函数则称要小，比它附近点的函数值都如果)()()(00xfxfxf注意：指左右两侧附近，）定义中的“附近”是（1定义。的左右两侧附近必须有在是函数的极值，因此，00)()(xxfxf极值是函数的局部性质）（.212问题小值大吗？函数的极大值一定比极比极小值大。）函数的极大值不一定（313问题函数的极值有何特征？★的根处取得）函数的极值必在（.0)(4xf14问题如何求函数的极值？★求函数的极值的方法：.3区间用列表法求函数的单调例题求下列函数的极值.12)()1(2xxxf31431)2(3xxy2,0,)3(3xxxy.)(,)(,1)1(11)(.223的极值并求出的解析式求函数且处有极值，和在设函数xfxffxxcxbxaxxf的极值求函数exeyx.3的示意图。画出函数的图象如图所示，的导数已知函数)()()(.4xfxfxfxoy124)(xf2)4(3)2(1)1(fffxoy124)(xf132的示意图。画出函数的图象如图所示，已知函数)()(.5xfxfxoy146xoy146)(xf)(xf15问题吗？处取得极值一定在那么函数如果)()(,0)(000xfxxxfxf不一定3)(xxfy例：注意：★.)(0)(0)()()1(的极值的根处未必取得函数但的根处取到，的极值必在函数xfxfxfxf性。的根左右区间上的单调在的极值，必须看函数说明0)()()()2(xfxfxf函数的最值三.最大值.1在定义域上的最大值。称为函数那么总有使得对任意的内存在在定义域如果函数)()(),()(,,)(000xfxfxfxfIxxIxf最小值.2在定义域上的最小值。称为函数那么总有使得对任意的内存在在定义域如果函数)()(),()(,,)(000xfxfxfxfIxxIxf上的图象在区间观察函数baxfy,)(xoy，最小值为最大值为，，极小值为上的极大值为在区间baxf,)(ab1x2x3x4x5x1x注意：★数值。极值或区间端点时的函上的最值必是在区间函数baxf,)(16问题上的最值在何时取得？在区间函数baxf,)(★上的最值的方法区间求函数:,)(.3baxf上的极值；在区间求),()()1(baxf.,)(,)(),()()2(上的最值在得到比较的极值与将baxfbfafxf注意：★.,,)(研究函数的单调性研究最值的本质仍然是因此研究函数的单调性，而研究极值的本质就是求极值，上的最值的主要过程是在区间求函数baxf例题上的最大值和最小值。，在区间求4134)(.12xxxf上的最大值和最小值。，在区间求20sin21)(.2xxxf的值域，求函数3,111.3xxxy上的值域为，在区间20)cos(sin21)(.4xxexfxmmxxxy则上的最大值为，在函数,5201232.523.,211)(,2,3)2(,)1(.,21)(.623的取值范围求恒成立都有若的值；求都取极值时与在已知ccxfxbaxxcbxaxxxf的值为则实数成立都有对任意设函数axfxRxxaxxf,0)(,1,1),(13)(.73.,171,11232)(.823mmxxxxf则为上的最大值在已知